Có : a+a^2+a^3+a^4+....+a^29+a^30

= (a+a^2)+(a^3+a^4)+....+(a^29+a^30)

= a.(a+1)+a^3.(a+1)+....+a^29.(a+1)

= (a+1).(a+a^3+...+a^29) chia hết cho a+1

=> ĐPCM

k mk nha

\(a+a^2+a^3+a^4+...+a^{29}+a^{30}\)

\(=\left(a+a^2\right)+\left(a^3+a^4\right)+...+\left(a^{29}+a^{30}\right)\)

\(=a\left(a+1\right)+a^3\left(a+1\right)+...+a^{29}\left(a+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(a+a^3+...+a^{29}\right)\)

Mà a là STN \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a+a^3+...+a^{29}\right)⋮\left(a+1\right)\)

\(\Rightarrow a+a^2+a^3+a^4+...+a^{29}+a^{30}⋮\left(a+1\right)\)

a chia cho 30 dư 29

suy ra a = 30x + 29

a + 1 = 30x + 29 + 1 = 30x + 30 chia hết cho 30 và chia hết cho 5

Ta có : \(a+a^2+a^3+...+a^{30}\)

\(=\left(a+a^2\right)+\left(a^3+a^4\right)+...+\left(a^{29}+a^{30}\right)\)

\(=a\left(a+1\right)+a^3\left(a+1\right)+...+a^{29}\left(a+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(a+a^3+...+a^{29}\right)⋮\left(a+1\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

lay o toan boi a

Bài 1:

Gọi số phải tìm là a ( a ϵ N*)

Ta có: a+42 chia hết cho 130 và 150

=> a + 42 ϵ BC(130;135)

=> a= 1908; 3858; 5808; 7758; 9708

Ta có:

a)  ( 3 n   + 1 ) 2  - 25 = 3(3n - 4)(n + 2) chia hết cho 3;

b)  ( 4 n   + 1 ) 2  - 9 = 8(2n - 1)(n +1) chia hết cho 8.

Vì a(a+1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có 2 trường hợp sau 

+  a là số chẵn thì a + 1 là số lẻ 

=) a(a+1) = số chẵn nhân số lẻ 

=) a(a+1) chia hết cho 2 

+  a là số lẻ thì a + 1 là số chẵn 

=) a(a+1) = số lẻ nhân số chẵn 

=) a(a+1) chia hết cho 2 

Vậy a(a+1) luôn chia hết cho 2 với mọi a 

Vì tích a.(a + 1 ) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp, mà tích 2 chữ số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 2.
Nên tích a.( a + 1 ) chia hết cho 2 với a là số tự nhiên.

Vì a \(\in\)N nên a có một trong hai dạng : 2k và 2k + 1 ( k \(\in\)N )

+) Với a = 2k thì : a . ( a + 1 ) = 2k . ( 2k + 1 ) \(⋮\)2  

+) Với a = 2k + 1 thì : a . ( a + 1 ) = ( 2k + 1 ) . ( 2k + 1 + 1 ) = ( 2k + 1 ) . ( 2k + 2 ) = ( 2k + 1 ) . 2 . ( k + 1 ) \(⋮\)2 

Vậy a . ( a + 1 ) \(⋮\)2 \(\forall\)a \(\in\)N

2,

+ n chẵn

=> n(n+5) chẵn 

=> n(n+5) chia hết cho 2

+ n lẻ

Mà 5 lẻ

=> n+5 chẵn => chia hết cho 2

=> n(n+5) chia hết cho 2

KL: n(n+5) chia hết cho 2 vơi mọi n thuộc N

3, 

A = n²+n+1 = n(n+1)+1

a, 

+ Nếu n chẵn

=> n(n+1) chẵn 

=> n(n+1) lẻ => ko chia hết cho 2

+ Nếu n lẻ

Mà 1 lẻ

=> n+1 chẵn

=> n(n+1) chẵn

=> n(n+1)+1 lẻ => ko chia hết cho 2

KL: A không chia hết cho 2 với mọi n thuộc N (Đpcm)

b, + Nếu n chia hết cho 5

=> n(n+1) chia hết cho 5

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1

+ Nếu n chia 5 dư 1

=> n+1 chia 5 dư 2

=> n(n+1) chia 5 dư 2

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3

+ Nếu n chia 5 dư 2

=> n+1 chia 5 dư 3

=> n(n+1) chia 5 dư 1

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 2

+ Nếu n chia 5 dư 3

=> n+1 chia 5 dư 4

=> n(n+1) chia 5 dư 2

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 3

+ Nếu n chia 5 dư 4

=> n+1 chia hết cho 5

=> n(n+1) chia hết cho 5

=> n(n+1)+1 chia 5 dư 1

KL: A không chia hết cho 5 với mọi n thuộc N (Đpcm)