Tìm các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge0\)
CMR: \(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+4\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\ge\frac{3}{2}\)
a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c\ge3.CMR:\frac{a^3-a^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^3-b^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c^3-c^2}{\left(c+a\right)^2}\ge0\)
cộng mỗi phân thức với 1 xem thế nào Thành
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
=> BDT cần CMR <=> \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\)
Ta có \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
=>VT\(\ge\frac{a+b+c}{2}\) (Hơi tắt nên tự hiểu)
Ta đi Cm \(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\)
<=> \(\frac{a+b+c}{2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}\ge3\)(*)
\(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)
=>VT (*) \(\ge3\). Từ đó ta có dpcm
Kiêm đâu lắm bài bdt hay. Gửi link
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}\)CMR:\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^3}{8bc\left(4b+4c+a\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{8ca\left(4c+4a+b\right)}}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a3+b3+c3=1
CMR\(\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}+\frac{b^2+c^2}{bc\left(b+c\right)^3}+\frac{c^2+a^2}{ca\left(c+a\right)^3}\ge\frac{9}{4}\)
\(sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b\right)^2\left(a^3+b^3\right)}=sigma\frac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{9}{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn abc=1
CMR
\(\frac{a}{\left(a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(c+1\right)^2}-\frac{4}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)<=1/4
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:\(\frac{a}{1+\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{1+\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{1+\left(a+b\right)^2}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2+12abc}\)
bài này mà giải theo SOS là hơi bị tuyệt vời nhé =)))
Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{1+9bc+4\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{1+9ca+4\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{1+9ab+4\left(a-b\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)
Bài 1 :Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=2
CMR \(\frac{bc}{\sqrt{3a^2+4}}+\frac{ca}{\sqrt{3b^2+4}}+\frac{ab}{\sqrt{3c^2+4}}\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Bài 2:Cho a,b,c>0. CMR
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
\(18\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(9+5\sqrt{3}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\)\(18\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)\(=\)\(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(\left(9+5\sqrt{3}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=\)\(0\)
Vậy\(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(0\)
Chứng minh là \(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(0\)là đúng
chúc bạn học tốt
Bất đẳng thức trên
<=> + 1 + + 1 + + 1 ≥ 3
<=> + + ≥ 3 (*)
Ta có: VT(*) ≥
Ta sẽ chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)
<=> abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1
≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + ab + bc + ca + 1
<=> 3 ≥ a2b2c2 + 2abc (**)
Theo Cosi: 3 = a + b + c ≥ 3 => ≤ 1 => abc ≤ 1
Vậy (**) đúng => (*) đúng.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3abc. Chứng minh rằng :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\left[\frac{a^4}{\left(ab+1\right)\left(ac+1\right)}+\frac{b^4}{\left(bc+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{c^4}{\left(ca+1\right)\left(bc+1\right)}\right]\ge\frac{27}{4}\)
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh