a. Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}\times\frac{b}{d}=\left(\frac{a-c}{b-d}\right)\left(\frac{a-c}{b-d}\right)=\left(\frac{a-c}{b-d}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{cd}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\)(ĐPCM)

a)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\)

Áp dụng TCDSBN ta có :

\(k=\frac{a-b}{c-d}\)\(\Rightarrow k^2=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2\)(1)

Ta lại có : \(k=\frac{a}{c};k=\frac{b}{d}\Rightarrow k^2=\frac{a}{c}.\frac{b}{d}=\frac{ab}{cd}\)(2)

Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^2=\frac{ab}{cd}\)(đpcm)

b ) Đề sai : điều cần cm là \(\frac{2017a-2018b}{2017c+2018d}=\frac{2017c-2018d}{2017a+2018b}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{2007a}{2007c}=\frac{2008b}{2008c}=\frac{2007a+2008b}{2007c+2008d}=\frac{2007a-2008b}{2007c-2008d}\)

\(\Rightarrow\left(2007a+2008b\right)\left(2007c-200d\right)=\left(2007a-2008b\right)\left(2007c+2008d\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2017a-2018b}{2017c+2018d}=\frac{2017c-2018d}{2017a+2018b}\)(đpcm)

Cách 1. Áp dụng BĐT AM-GM : 

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)

Cách 2. Áp dụng BĐT Cauchy : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)

Tương tự : \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\) , \(\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge c\), \(\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge d\)

Cộng theo vế : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}+\frac{1}{4}.2.\left(a+b+c+d\right)\ge a+b+c+d\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)

Hình như là

a/b=2018a/2018b

Vì a/b<c/d

=>2018a/2018b<c/d

=>2018a+c/2018b+d<c+d

a) Ta có:

a−b=c+d

⇒a−b−c−d=0

⇒2a(a−b−c−d)=0

⇒2a2−2ab−2ac−2ad=0

Do đó:

a2+b2+c2+d2

=a2+b2+c2+d2+2a2−2ab−2ac−2ad

=(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(a2−2ad+d2)

=(a−b)2+(a−c)2+(a−d)2

Vậy với các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a - b = c + d thì a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của ba số chính phương

b) Ta có:

a+b+c+d=0

⇒a+b+c=−d

⇒a2+ab+ac=−da

⇒bc−da=a2+ab+ac+bc

⇒bc−da=a(a+b)+c(a+b)

⇒bc−da=(a+b)(a+c)(1)

Ta lại có:

a+b+c+d=0

⇒a+b+c=−d

⇒ac+bc+c2=−dc

⇒ab−cd=ac+bc+c2+ab

⇒ab−cd=c(a+c)+b(a+c)

⇒ab−cd=(a+c)(b+c)(2)

Ta lại có:

a+b+c+d=0

⇒a+b+c=−d

⇒ab+b2+bc=−db

⇒ca−db=ca+ab+b2+bc

⇒ca−db=a(b+c)+b(b+c)

⇒ca−db=(b+c)(a+b)(3)

Thay (1) , (2) và (3) vào biểu thức ( ab - cd )( bc - da )( ca - db ) ta được:

(ab−cd)(bc−da)(ca−db)

=(a+c)(b+c)(a+b)(a+c)(a+b)(b+c)

=(a+c)2.(b+c)2.(a+b)2

=[(a+c)(b+c)(a+b)]2

Vậy với các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 0 thì ( ab - cd )( bc - da )( ca - db ) là số chính phương

a,Cách 1: \(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)

=> (a+b)d = b(c+d)

=> ad + bd = bc + bd

=> ad = bc 

=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Cách 2:

\(\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

b,\(\frac{a}{a-2b}=\frac{c}{c-2d}\Rightarrow a\left(c-2d\right)=c\left(a-2b\right)\Rightarrow ac-2ad=ac-2bc\Rightarrow-2ad=-2bc\Rightarrow ad=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)