BIET DAP AN BAI NAY O AU KHONG

a ) AH là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\)

Xét 2 tam giác vuông ΔEAH và ΔFAH có:

AH chung

\(\widehat{EAH}=\widehat{FAH}\) 

=> ΔEAH = ΔFAH (cạnh góc vuông - góc nhọn)

=> EH = FH (đpcm)

b ) \(\widehat{ACB}\) là góc ngoài tại C của ΔMCF

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{CFM}+\widehat{CMF}\)

\(\widehat{AEF}\) là góc ngoài tại E của ΔMBE

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{EMB}+\widehat{ABC}\)

Lại có : \(\widehat{CFM}=\widehat{AEF}\) (do ΔEAH = ΔFAH)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{EMB}+\widehat{ABC}+\widehat{CMF}\)

Mặt khác \(\widehat{EMB}=\widehat{CMF}\)  (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=2.\widehat{EMB}+\widehat{ABC}\)

Hay \(2.\widehat{BME}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}\)( ĐPCM ) 

c, ΔAHE vuông tại H

\(\Rightarrow HE^2+AH^2=AE^2\)

ΔEAH = ΔFAH ⇒ HE = HF => H là trung điểm của FE

\(\Rightarrow HE=\frac{FE}{2}\)

\(\Rightarrow HE^2=\left(\frac{FE}{2}\right)^2=\frac{FE^2}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{FE^2}{4}+AH^2=AE^2\left(đpcm\right)\)

, Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EF ở D.

CD ║ AB \(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{AEH}\) (đồng vị)

mà \(\widehat{AFH\:}=\widehat{AEH}\)(ΔEAH = ΔFAH)

\(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{AFH\:}\)

=> ΔCDF cân tại C

=> CD = CF

Dễ dàng chứng minh được ΔMBE = ΔMCD (g.c.g)

⇒ BE = CD mà CD = CF

⇒ BE = CF (đpcm)

a) xét tam giác AEF có

AH là đường cao của EF

AH là đường phân giác của góc A

\(H\in EF\)

=>tam giác AEF cân ở A

=>AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyế của EF

=> H là trung điểm của EF

=>HE=HF=\(\frac{1}{2}EF\)(dpcm)

b)ta có \(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\)(đối đỉnh )

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{F}+\widehat{CMF}\)( t/c góc ngoài của tam giác )

ta có \(\widehat{F}=\widehat{AEF}\)(tam giác AEF cân ) mà\(\widehat{AEF}=\widehat{B}+\widehat{BME}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=\widehat{B}+\widehat{BME}+\widehat{CMF}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACB}=\widehat{B}+2\widehat{BME}\)

=>\(\widehat{2BME}=\widehat{ACB}-\widehat{B}\)

c) tam giác AHE có 

góc AHE =90 độ => \(HE^2+AH^2+AE^2\left(pi-ta-go\right)\)

thay \(HE=\frac{1}{2}EF\)ta được

\(\left(\frac{1}{2}EF\right)^2+AH^2=AE^2\)

=>\(\frac{EF^2}{4}+AH^2=AE^2\left(dpcm\right)\)

d) kẻ BI//AC =>\(\widehat{BIE}=\widehat{AFH},\widehat{AFH}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{A}\)\(\Leftrightarrow\widehat{BIE}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{A}\)(1)

mà tam giác AHE zuông tại H

=>\(\widehat{AHE}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{A}\left(2\right)\)

từ 1 zà 2 =>\(\widehat{BIE}=\widehat{AHE}=>\Delta BEI\)cân tại B

=> BE=BI(3)

xét tam giác MFC có \(BI//FC;B\in MC;I\in MF\)

=>\(\frac{BI}{FC}=\frac{MB}{MC}=1\)

=>\(BI=FC\left(4\right)\)

từ 3 zfa 4

=> BE=CF (dpcm

Bạn tự vẽ hình nha 

a)_ Từ C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt FE tại N => ^NCM = ^EBM (so le trong)

_Xét tg NCM và tg EBM ta có:

      ^NCM =^EBM(cmt)

      CM=BM(gt)

      ^NMC =^EMB(đối đỉnh)

=> tg NCM = tg EBM (g.c.g) 

=> CN = BE (2 cạnh tương ứng)

_CN // AB(cách vẽ) => ^CNF = ^AEF(đồng vị)(1)

  Bạn c/m tg AHF = tg AHE(g.c.g)

=> ^AFH = ^AEH hay ^CFN = ^AEF(2)

(1),(2) => ^CNF = ^CFN => tg CFN cân tại C

=> CF = CN. Mà CN = BE(cmt) => CF = BE

b) _Ta có: AB = AE + BE; AC = AF - CF

=> AB + AC = AE+BE+AF-CF(*)

Tg AHF = tg AHE(cmt) => AF = AE

Lại có BE=CF(câu a) thay vào(*) ta có:

      AB+AC = AE+BE+AE-BE =2.AE

=> AE=(AB+AC)/2

*Để mk nghĩ câu c đã

mik chỉ làm đc ý a thôi nhé , bạn tự vẽ hình 

        Xét t/g AEH và t/g AHF có :

               góc EAH = góc FAH ( do AH là TPG )

                   AH chung

                 góc AHE = góc AHF ( gt)

     => t/g AEH = t/g AHF ( G.C.G )

     => HE = HF ( hai cạnh tương ứng )

    câu b

     Ta có : 

        Vì  AEH là góc ngoài của t/g MEB

      =>  AEH=EMB + EBM

      => BME = AEH - EBM (1)

     Lại có :

           HAE + AHE + AEH = 180 độ ( ĐL)

    Mà AHE = 90 độ => HAE + AEH = 90 

                               =>HAE = 90 - AEH

    Mặt khác HAE = CAH = 1/2 FAB

                           => AEH = 90 - 1/2 FAB(2)

   Kết hợp (2) vào (1) => BME = 90 - FAB/2 - ABC

                                                = 180 - BAC - 2ABC/2

                                                = BCA - ABC/2

                                               =>2BME = BCA - ABC ( đpcm )

                             Chúc bạn học giỏi nha >8)