Cho 3 số thực dương x,y,z thõa mãn \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1\)\(1\)
Chứng minh rằng: Trong 2 số x,y,z có ít nhất một số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất 1 số không lớn hơn 2.
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Chứng minh rằng: Trong ba số x,y,z có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất 1 số không lớn hơn 2.
Ta giả sử 3 số đều =2
=>\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)(Đúng)
=>đpcm
P/s : nhanh gọn lẹ :))
Đặt \(A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(\frac{1}{x+1}< \frac{1}{y+1}< \frac{1}{z+1}\)
Ta có
+) \(A>\frac{3}{1+x}\Leftrightarrow1>\frac{3}{1+x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{x+1}\Leftrightarrow x+1>3\)
<=> x>2(1)
+) \(A< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow1< \frac{3}{1+z}\Leftrightarrow\frac{1}{3}< \frac{1}{1+z}\Leftrightarrow1+z< 3\Leftrightarrow x< 2\)(2)
Từ (1) (2) => ĐPCM
Cho 3 số thực dương x,y,z thõa mãn 1/1+x +1/1+y + 1/1+z=1
CMR Trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất 1 số không lớn hơn 2
Cho ba số thực dương x,y,z t/m: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1\)
CMR: Trong ba số x,y,z có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và một số không lớn hơn 2
Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn :\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{z+1}=1\)
CMR Trong 3 số x,y,z có ít nhất một số ko nhỏ hơn 2 và một số ko lớn hơn 2
\(\text{Giả sử không có số nào nhỏ hơn 2}\Rightarrow\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\left(\text{vẫn đúng }\right)\)
Cho x + y + z + 2 = xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và ít nhất 1 số không lớn hơn 2
Vai trò \(x,y,z\)như nhau không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\ge z\)
Nếu \(x< 2\)thì \(xyz< 2\cdot2\cdot z=4z=z+3z< 2+3z\le2+x+y+z\)(mâu thuẫn)
Vậy \(x\ge2\)
Nếu \(z>2\)thì \(xyz>x\cdot2\cdot2=4x=x+3x>2+3x\ge2+x+y+z\)(mâu thuẫn)
Vậy \(z\le2\)
Nghĩa là có ít nhất 1 số không nhỏ hơn 2 và ít nhất 1 số không lớn hơn 2
Cho 0 < x, y, z < 1 thỏa mãn xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z). Chứng minh rằng : trong ba số x(1 - y), y(1 - z), z(1 - x) có ít nhất một số không nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\)
Từ gt, ta có \(\left(xyz\right)^2=\left[x\left(1-x\right)\right]\left[y\left(1-y\right)\right]\left[z\left(1-z\right)\right]\)
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x\left(1-x\right)\le\frac{1}{4};y\left(1-y\right)\le\frac{1}{4};z\left(1-z\right)\le\frac{1}{4}\)
Nhân các bđt trên lại theo vế =. \(\left(xyz\right)^2\le\frac{1}{64}\)hay \(xyz\le\frac{1}{8}\)
Gọi A là số lớn nhất trong các số x(1-y);y(1-z); z(1-y)
khi đó từ gt, ta có:
\(3A\ge x\left(1-y\right)+y\left(1-z\right)+z\left(1-x\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\right)\)
\(=1-xyz-\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(=1-2xyz\ge\frac{3}{4}\)
từ các đánh giá trên => \(A\ge\frac{1}{4}\)
=> đpcm
Cho x, y, z là 3 số thực thõa mãn điều kiện: x + y + z = 3 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\)
Chứng minh ít nhất 1 trong 3 số x, y, z bằng 3
Cho x, y, z là 3 số thực thõa mãn điều kiện: x + y + z = 3 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\)
Chứng minh ít nhất 1 trong 3 số x, y, z bằng 3
1/x + 1/y + 1/z = 1/3 = 1/x+y+z
<=> xy+yz+zx/xyz = 1/x+y+z
<=> (xy+yz+zx).(x+y+z) = xyz
<=> x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+3xyz = xyz
<=> x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+zx^2+2xyz = 0
<=> (x+y).(y+z).(z+x) = 0
<=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x = 0
<=> z=3 hoặc x=3 hoặc y=3
=> ĐPCM
Tk mk nha
Cho 0<x,y,z<1 và xyz=(1-x)(1-y)(1-z). Chứng minh trong 3 số x(1-y), y(1-z), z(1-x) có ít nhất một số không nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\)