Cho ba số nguyên dương x y z thỏa mãn x+y+z và bt A=
\(\frac{x}{2019-z}\)+\(\frac{y}{2019-x}\)+\(\frac{z}{2019-y}\)
Chứng minh A ko phải số nguyên
Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 2019 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}\)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số bằng 2019.
Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn : \(\frac{x+y\sqrt{2019}}{y+z\sqrt{2019}}\)là số hữu tỉ đồng thời \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố
cho x,y ,z là các số dương thỏa mãn:xy+yz+zx=2019
Tính gtrị bt\(P=x\sqrt{\frac{\left(y^2+2019\right).\left(z^2+2019\right)}{x^2+2019}}+y\sqrt{\frac{\left(z^2+2019\right).\left(x^2+2019\right)}{y^{2^{ }}+2019}}+z\sqrt{\frac{\left(x^2+2019\right).\left(y^2+2019\right)}{z^2+2019}}\)
Có \(y^2+2019=y^2+xy+yz+zx=y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(x^2+2019=x^2+xy+yz+zx=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
\(z^2+2019=z^2+xy+yz+xz=z\left(z+y\right)+x\left(y+z\right)=\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)
Có \(P=x\sqrt{\frac{\left(y^2+2019\right)\left(z^2+2019\right)}{x^2+2019}}+y\sqrt{\frac{\left(z^2+2019\right)\left(x^2+2019\right)}{y^2+2019}}+z\sqrt{\frac{\left(x^2+2019\right)\left(y^2+2019\right)}{z^2+2019}}\)
=\(x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+x\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
=\(x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
=\(x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)
=\(x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\) (vì x,y,z >0)
= xy+xz+xy+yz+xz+yz
=2(xy+xz+yz)=2.2019(vì xy+xz+yz=2019)
=4038
Vậy P=4038
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn : \(\frac{y+z+1}{x}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{x+y-3}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)+z . Tính \(A=2018x+y^{2019}+z^{2019}\)
tìm các số nguyên duowgn x,y,z thỏa mãn hai điều kiện sau \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố và \(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}\)là số hữu tỉ
Ta có \(\frac{x-y\sqrt{2019}}{y-z\sqrt{2019}}=\frac{m}{n}\left(m,n\varepsilonℤ,\left(m,n\right)=1\right).\)
\(\Rightarrow nx-ny\sqrt{2019}=my-mz\sqrt{2019}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2019}\left(ny-mz\right).\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\ny-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2.\)
Khi đó \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)
\(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)
Vì \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)(chỗ này bn tự giải chi tiết nhé, và thử lại nữa)
Kết luận...
cho ba số x,y,z thỏa mãn \(\frac{x}{2017}=\frac{y}{2018}=\frac{z}{2019}\)
Chứng minh : 4.(x-y)(y-z)=\(\left(z-x\right)^2\)
giúp mình vs
xin loi , may tinh minh hong unikey
Dat \(\frac{x}{2017}=\frac{y}{2018}=\frac{z}{2019}=k\)
Suy ra \(x=2017k;y=2018k;z=2019k\)
Khi đó 4.(x-y).(y-z) = \(4.\left(2017k-2018k\right).\left(2018k-2019k\right)=4.\left(-k\right).\left(-k\right)=4k^2\)
\(\left(z-x\right)^2=\left(2019k-2017k\right)^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)
Nen \(4.\left(x-y\right).\left(y-z\right)=\left(z-x\right)^2\)
Cho x,y,z là ba số thực khác 0 thỏa mãn \(x+y+z\ne0\) và \(x^3+y^3+z^3=3xyz\). Tính \(C=\frac{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}}{\left(x+y+z\right)^{2019}}\)
Ta có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-3.\left(x+y\right).z.\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right).\left[\left(x+y+z\right)^2-3.\left(x+y\right).z\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right).\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-3xz-3yz-3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right).\left(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy\right)=0\)
+ \(x+y+z=0\)\(\Rightarrow\)\(C=\frac{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}}{0}\)( Loại )
+ \(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy=0\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xz-2yz-2xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)
\(\Rightarrow\)\(C=\frac{x^{2019}+x^{2019}+x^{2019}}{\left(x+x+x\right)^{2019}}=\frac{3.x^{2019}}{3^{2019}.x^{2019}}=\frac{1}{3^{2018}}\)
Vậy.......
Từ x3 + y3 + z3 = 3xyz
=> ( x + y + z )( x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz ) = 0 ( phân tích như bạn kia )
Vì x + y + z ≠ 0
=> x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz = 0
<=> 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0
<=> ( x - y )2 + ( y - z )2 + ( x - z )2 = 0
VT ≥ 0 ∀ x,y,z. Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z
Khi đó \(C=\frac{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}}{\left(x+y+z\right)^{2019}}=\frac{3x^{2019}}{\left(3x\right)^{2019}}=\frac{3x^{2019}}{3^{2019}\cdot x^{2019}}=\frac{1}{3^{2018}}\)
Cho ba số x, y, z khác 0 thỏa mãn:x+y+z=2019 và \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=2019
Tính A=\(\frac{1}{x^{2019}}\)+\(\frac{1}{y^{2019}}\)+\(\frac{1}{z^{2019}}\)
Sửa đề : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}\)
Thay \(2019=x+y+z\)ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{z}{z\left(x+y+z\right)}-\frac{x+y+z}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{z-x-y-z}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=-xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)+xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[z\left(x+y+z\right)+xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2+xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[z\left(x+z\right)+y\left(x+z\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\)
( mình chỉ xét 1 t/h, các t/h còn lại hoàn toàn tương tự )
TH1 : \(x+y=0\)
\(\Leftrightarrow x=-y\)(1)
Thay (1) vào A ta có :
\(A=\frac{1}{-y^{2019}}+\frac{1}{y^{2019}}+\frac{1}{z^{2019}}\)
\(A=\frac{1}{z^{2019}}\)
Mặt khác : \(x+y+z=2019\)
Thay (1) vào đẳng thức trên ta được : \(-y+y+z=2019\)
\(\Leftrightarrow z=2019\)
Thay z vào A ta được : \(A=\frac{1}{2019^{2019}}\)
sửa đền nha:\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=\(\frac{1}{2019}\)
nguyệt dạ hình như là mai linh... t đang tìm bài này thì thấy lp mk ... thành ra trong lp hỏi nhau :)))
Bài 1: a) Tìm x biết : 2019 |x - 2019| + ( x - 2019 )2 = 2018 |2019 - x|
b) TÌm x thuộc Z và y thuộc Z* thỏa mãn : \(2x+\frac{1}{7}=\frac{1}{y}\)