Bài toán này nhìn đầu tiên có vẻ rắc rối nhưng thực ra rất đơn giản. Ta biết rằng x + 8 và y + 2012 chia hết cho 6, và biểu thức 4^3 + x + y có thể viết lại dưới dạng 64 + x + y. Vì x + 8 chia hết cho 6, nên x chia hết cho 6 - 8, tức là -2. Vì y + 2012 chia hết cho 6, nên y chia hết cho 6 - 2012, tức là -2006. Vậy x + y = -2 - 2006 = -2008. Ta thấy rằng 64 + x + y = 64 - 2008 = -1944. Tuy nhiên, -1944 không chia hết cho 6, vì nó không chia hết cho 2. Vậy ta suy ra rằng 4^3 + x + y không chia hết cho 6. Do đó, bài toán đã được chứng minh.

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)(1)

Ta có: \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)

Vì \(x^2+y^2\)và x+y là các số nguyên => 2xy là số nguyên

\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2\)

Vì \(x^4+y^4,x^2+y^2\)là các số nguyên => \(2x^2y^2\)là số nguyên

=> \(\frac{1}{2}\left(2xy\right)^2\)là số nguyên=> \(\left(2xy\right)^2⋮2\)mà 2 là số nguyên tố => 2xy chia hết cho 2=> xy là số nguyên (2) 

Từ (1), (2) và x+y là số nguyên 

=> x^3+y^3 cũng là số nguyên.

Cô: x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2xxyy nhé cô :)

2xxyy =2x^2.y^2 :)

\(2xy+x-2y=4\\ \Rightarrow x\left(2y+1\right)-2y-1=4-1\\ \Rightarrow x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)=3\\ \Rightarrow\left(x-1\right)\left(2y+1\right)=3\)

Vì \(x,y\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1,2y+1\in Z\\x-1,2y+1\inƯ\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có bảng:

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;-2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)