Gọi K là trung điểm BD

Xét tam giác ABD có:

Mlà trung điểm AD

K là trung điểm BD

=> MK là đường trung bình

\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}AB\left(1\right)\)

Xét tam giác BDC có:

K là trung điểm BD

N là trung điểm BC

=> NK là đường trung bình

\(\Rightarrow NK=\dfrac{1}{2}DC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow MK+NK=\dfrac{1}{2}\left(BC+DC\right)\)

Mà \(MK+NK\ge MN\)(bất đẳng thức trong tam giác KMN)

\(\Rightarrow MN\le\dfrac{AB+DC}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MK+NK=MN\)

\(\Leftrightarrow\) K là trung điểm MN

Trả lời 

Vì \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\DC=NC\\MN=\frac{BC+AD}{2}\end{cases}}\Rightarrow MN\)  là đường trung bình của hình thang 

\(\Rightarrow ABCD\)là hình thang ( đpcm )

Thông cảm nha mọi người 

tôi sẽ vẽ lại hình cho nha

Study well 

Gọi P là trung điểm của BD. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:

\(MP=\frac{1}{2}AB\)

\(NP=\frac{1}{2}CD\)

do đó: MP + NP = \(\frac{1}{2}\) (AB + CD)

mặt khác: MN \(\le\) MP + NP

vì vậy MN \(\le\) \(\frac{\left(AB+CD\right)}{2}\)

ko bít đúng ko !!! 5654667565689857954524246464363464564545756567568534

làm sao bik MN\(\le\frac{AB+CD}{2}\)

lộn làn sao bik MN\(\le\)MP+NP

Ta có : Tứ giác MPNQ là hình bình hành

$\Rightarrow$ MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Ta có : Tứ giác EPFQ là hình bình hành

$\Rightarrow$ EF đi qua I

Vậy EF , MN và PQ đồng quy

Trên tia đối của PB lấy H sao cho BP = PH

ΔBPC và ΔHPD có:

BP = HP (cách vẽ)

\(\widehat{BPC}=\widehat{HPD}\left(đối.đỉnh\right)\) (đối đỉnh)

PC = PD (gt)

Do đó, ΔBPC=ΔHPD(c.g.c)

=> BC = DH (2 cạnh t/ứng)

và \(\widehat{PBC}=\widehat{PHD}\) (2 góc t/ứ), mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên BC // HD

ΔABH có: M là trung điểm của AB (gt)

P là trung điểm của BH (vì HP = BP)

Do đó MP là đường trung bình của ΔABH

\(\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}AH\) ; MP // AH 

\(\Rightarrow2MP=AH\)

Có: \(AD+DH\ge AH\) (quan hệ giữa 3 điểm bất kì)

\(\Leftrightarrow AD+BC\ge2MP\) (thay \(DH=BC;AH=2MP\))

\(\Leftrightarrow\dfrac{AD+BC}{2}\ge MP\)

Mà theo đề bài: \(MP=\dfrac{BC+AD}{2}\)

Do đó, \(AD+DH=AH\)

=> A,D,H thẳng hàng

Mà HD // BC (cmt) nên AD // BC

Tương tự: AB // CD

Tứ giác ABCD có: AD // BC (cmt);AB // CD (cmt)

Do đó, ABCD là hình bình hành