Gọi đa thức đó là A ta có :

A chia x - 2 dư 5

A chia x - 3 dư 7

=> A chia (x-2)(x-3) dư 5*7 = 35
 

Do đa thức chia là \(x^2-4x+3\)là đa thức bậc hai nên đa thức dư là đa thức bậc nhất, có dạng \(ax+b\).

Đặt \(P\left(x\right)=Q\left(x\right)\left(x^2-4x+3\right)+ax+b\)

\(P\left(1\right)=Q\left(1\right)\left(1-4+3\right)+a+b\Leftrightarrow a+b=3\)

\(P\left(3\right)=Q\left(3\right)\left(9-12+3\right)+3a+b\Leftrightarrow3a+b=7\)

Ta có hệ: 

\(\hept{\begin{cases}a+b=3\\3a+b=7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\).

Vậy đa thức dư là: \(2x+1\).

1. 2x³ + 4x² + 5x + 3 

= 2x³ + 2x² + 2x² + 2x + 3x + 3

= 2x²( x + 1 ) + 2x( x + 1 ) + 3( x + 1 )

= ( x + 1 )( 2x² + 2x + 3 )

=> ( 2x³ + 4x² + 5x + 3 ) : ( x + 1 ) = 2x² + 2x + 3

2.a) 2x³ - 3x² + x + a chia hết cho x + 2

Ta có đa thức chia có bậc 3, đa thức bị chia có bậc 1

=> Thương bậc 2

Lại có hệ số cao nhất là 2 nên đặt đa thức thương là 2x² + bx + c

=> 2x³ - 3x² + x + a chia hết cho x + 2 

⇔ 2x³ - 3x² + x + a = ( x + 2 )( 2x² + bx + c )

⇔ 2x³ - 3x² + x + a = 2x³ + bx² + cx + 4x² + 2bx + 2c

⇔ 2x³ - 3x² + x + a = 2x³ + ( b + 4 )x² + ( c + 2b )x + 2c

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}b+4=-3\\c+2b=1\\2c=a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-7\\c=15\\a=30\end{cases}}\)

Vậy a = 30

b) x² - 3x + 3 chia x - a được thương là x + 3 dư 21

=> x² - 3x + 3 = ( x - a )( x + 3 ) + 21

⇔ x² - 3x + 3 - 21 = x² + 3x - ax - 3a

⇔ x² - 3x - 18 = x² + ( 3 - a )x - 3a

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}3-a=-3\\-3a=-18\end{cases}}\Leftrightarrow a=6\)

Vậy a = 6

c) Tí mình gửi link nhé

c) https://imgur.com/TzbHKPG

Bạn chịu khó đánh máy tí nhé ;-;

600000000<1

Cho mình xin cách làm đi

Nó là định lí Bézout đấy bạn ^^

Định lí Bézout : Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)

Chứng minh : Theo định lí cơ bản ta có : f(x) = ( x - a ).P(x) + R(x) (1)

Ở đây, g(x) = x - a có bậc là bậc nhất mà bậc của dư R(x) phải nhỏ hơn bậc của g(x), vậy R(x) phải là một hằng số, thay x = a trong đẳng thức (1) ta có : f(a) = ( a - a ).P(a) + R => R = f(a)

Hệ quả : Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

Ta dùng hệ quả của định lí Bézout để phân tích đa thức thành nhân tử khi đã biết một nghiệm

Huyền hỏi 2 bài liên tiếp à viết nhanh thế

Các dạng bài này đc giải rất nhiều sao bạn ko coi thế?

Lời giải:
Gọi đa thức ban đầu là $Q(x)$. Khi chia cho $(x-1)(x-2)$ ta được dư là $E(x)$ và dư $ax+b$ với $a,b$ là số thực.

Ta có:

$Q(x)=(x-1)(x-2)E(x)+ax+b$

$Q(1)=a+b=2$

$Q(2)=2a+b=3$

$\Rightarrow a=1; b=1$

Vậy dư trong phép chia $Q(x)$ cho $(x-1)(x-2)$ là $x+1$