ho tgiác có độ dài các cạnh là a, b, c 
độ dài 3 đường cao tương ứng với cạnh a, b, c là ha, hb, hc 
độ dài 3 trung tuyến tương ứng với các cạnh a, b, c là ma, mb, mc 
độ dài các phân giác trong.. là la, lb, lc 
(nhớ ha, hay ma là kí hiệu chứ không phải phép nhân nhé) 
----------------- 
** đình lí trung tuyến: 
4(ma)² + a² = 2b² + 2c² (1) 
4(mb)² + b² = 2c² + 2a² (2) 
4(mc)² + c² = 2a² + 2b² (3) 

lấy (1) + (2) + (3) 
4(ma)² + 4(mb)² + 4(mc)² = 3a² + 3b² + 3c² 

=> (8/3)[(ma)² + (mb)² + (mc)²] = 2a² + 2b² + 2c² (4) 

lần lượt lấy (4) trừ (1), (2), (3) ta sẽ tính được a, b, c theo các trung tuyến 
------------------------ 
Công thức Herong: tính diện tích theo a,b,c với p là nửa chu vi: p = (a+b+c)/2 

S = √p(p-a)(p-b)(p-c) 
làm tường minh là: 
S = (1/4)√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) 

S = (1/2)a.ha = (1/2)b.hb = (1/2)c.hc 

=> a = 2S/ha; b = 2S/hb; c = 2S/hc 

thay S từ công thức herong.... 
---------------- 
Công thức phân giác: 

(la)² = 4bc.p(p-a)/(b+c)² = bc(b+c-a)(a+b+c)/(b+c)² 

(lb)² = ... 

bạn tự ghi theo cái "khuôn" nhứ thế nhé 
------------------- 
Vì yêu cầu tính với các cạnh nên chịu dài lê thê như thế, nếu có đựoc một góc thì nhẹ hơn nhiều.. 
hơn nữa các công thức tôi ghi hầu hết là "ngược", muốn tính lại độ dài các cạnh thì chịu khó giải phương trình 
Và hiễn nhiên các công thức trên đều có thể chứng minh, nhưng ghi cái cm ra là chắc chết... hic hic 

trong mọi tình huống giải tam giác bạn nên luôn nhớ đến các công thức tính diện tích, để liên kết chúng với nhau 

S = (1/2) a.ha = (1/2)b.hb = (1/2)c.hc 
= (1/2)bc.sinA = (1/2)ac.sinB = (1/2)ab.sinC 
= abc/4R 
= pr 
= công thức nổi tiếng: Herong 

chúc bạn thành công 
----------------

Nguồn:__|trituyet|__

\(S=\frac{1}{2}.ha.\left(ha+hc\right)\)

Tích cho chị vs

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên BC=15(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=7,2\left(cm\right)\\BH=5.4\left(cm\right)\\CH=9.6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vẽ tam giác ABC với các chiều cao tương ứng là AH, BK, CG.

Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{BK}\right)^2=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AC^2}{BC^2}\)

Tương tự \(\Delta AHB\sim\Delta CGB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{CG}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{CG}\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}\)

Ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{BK^2}+\frac{1}{CG^2}\Leftrightarrow\frac{AH^2}{BK^2}+\frac{AH^2}{CG^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1\)

\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông tại A.

2S(ABC)=ha.a=hb.b=hc.c suy ra 1/ha+1/hb+1/hc=a/2S+b/2S+c/2S=1/2S .(a+b+c)=1/r(a+b+c) .(a+b+c) =1/r (đpcm) (vì 2S=r(a+b+c))