a) Xét hai tam giác vuông: ∆AHB và ∆CHA có:

∠B = ∠CAH (cùng phụ C)

⇒ ∆AHB ∽ ∆CHA (g-g)

⇒ AH/HC = HB/AH

⇒ AH.AH = HB.HC

⇒ AH² = HB.HC

Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆HAC có:

∠C chung

⇒ ∆ABC ∽ ∆HAC (g-g)

⇒ AC/HC = BC/AC

⇒ AC.AC = HC.BC

b) ∆ABC vuông tại A

⇒ BC² = AB² + AC² (Pytago)

= 3² + 4²

= 25

⇒ BC = 5 (cm)

Do AD là tia phân giác của ∠BAC

⇒ BD/CD = AB/AC

⇒ AB/BD = AC/CD 

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

AB/BD = AC/CD = (AB + AC)/(BD + CD) = (3 + 4)/5 = 7/5

Do AB/BD = 7/5

⇒ BD = AB.5/7 = 3.5/7 = 15/7 (cm)

b)\(\text{Gọi DE⊥AB}\)\(\text{→DE//AC}\)

Vì AD là tia phân giác của tam giác ABC

\(\Rightarrow BAD=DAC=\dfrac{1}{2}BAC=45^0\)

\(\Rightarrow EAD=45^0\)

\(\Rightarrow TamgiácAEDvuôngcântạiE\)

\(\rightarrow AD=AE\sqrt{2}\)

Mak AD là tia phân giác

\(\dfrac{\Rightarrow DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{3}\)

Mak\(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{EB}{AE}\left(địnhlýTalet\right)\)

\(\dfrac{\Rightarrow EB}{AE}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AE+EB}=\dfrac{3}{7}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow AE=\dfrac{3}{7}.AB=\dfrac{12}{7}\)

\(\Rightarrow AD=AE.\sqrt{2}=\dfrac{12}{7}.\sqrt{2}=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}\approx2,42\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AH đường cao

\(\Rightarrow AC^2=HC.BC\)

\(\Rightarrow BC=\dfrac{AC^2}{HC}=\dfrac{3^2}{1,8}=5\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-HC=5-1,8=3,2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=BH.HC\)

\(\Rightarrow AH^2=1,8.3,2=5,76\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{5,76}=2,4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{AH.BC}{AC}=\dfrac{2,4.5}{3}=4\left(cm\right)\)

Vì 3 đường AH,BD,CM đồng quy nên áp dụng ĐL Ceva ta có \(\frac{MA}{MB}.\frac{HB}{HC}.\frac{DC}{DA}=1\)

Ta thấy \(\frac{MA}{MB}=1\)(Vì MA = MB); \(\frac{DC}{DA}=\frac{BC}{BA}\)(ĐL đường phân giác trong tam giác)

Suy ra \(\frac{HB}{HC}.\frac{BC}{BA}=1\Rightarrow\frac{HB}{HC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow HB.BC=AB.HC\)

Lại có \(HB.BC=AB^2\)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông) nên \(AB.HC=AB^2\)

\(\Rightarrow HC=AB\)(đpcm).

AM=AF vì AEMF là hình chữ nhật 

Tam giác AHM vuông tại H có HM=AM/2

Suy ra HM=EF/2

Suy ra tam giác HEF vuông tại H