Ta có : x + y = 1 => x = y - 1

=> P = (y - 1).y - 7 = y² - y - 7 = (y² - y - 1/4) - 27/4 = (y - 1/2)² - 27/4 \(\ge\)-27/4 \(\forall\)y

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}y-\frac{1}{2}=0\\x=y-1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{2}\\x=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy Min P = -27/4 <=> x = -1/2 và y = 1/2

Edogawa Conan

Cách em làm ko sai. Nhưng em nhầm từ dòng đầu tiên nhé!

x + y = 1 => x = 1- y

Giải: 

Có: \(\left(x-y\right)^2\ge0,\forall x,y\)

<=> \(x^2+2xy+y^2\ge2xy,\forall x,y\)

<=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy,\forall x,y\)

=> \(P=xy-7\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-7=\frac{1}{4}-7=-\frac{27}{4}\)

"="  xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của P là -27/4 đạt tại x = y = 1/2.

Another way!Mặc dù khá phức tạp:v
\(2P=2xy-14=\left(x+y\right)^2-14-\left(x^2+y^2\right)\)

\(=-13-\left(x^2+y^2\right)\le-13-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=-\frac{27}{2}\)

\(\Rightarrow P\le-\frac{27}{4}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

a) A = x( 5 - 3x ) = -3x² + 5x = -3( x² - 5/3x + 25/36 ) + 25/12

= -3( x - 5/6 )² + 25/12 ≤ +25/12 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = 5/6

Vậy MaxA = 25/12 <=> x = 5/6

b) Từ x + y = 7 => x = 7 - y

Ta có : xy = ( 7 - y ).y = 7y - y² = -( y² - 7y + 49/4 ) + 49/4 = -( y - 7/2 )² + 49/4 ≤ 49/4 ∀ y

Dấu "=" xảy ra <=> y = 7/2 => x = 7/2

Vậy Max(xy) = 49/4 <=> x = y = 7/2

( nếu cho x,y dương thì Cauchy nhanh gọn luôn :)) )

c) F = x( x - 3 )( x - 4 )( x - 7 )

= [ x( x - 7 ) ][ ( x - 3 )( x - 4 ) ]

= ( x² - 7x )( x² - 7x + 12 )

Đặt t = x² - 7x

F = t( t + 12 ) = t² + 12t = ( t² + 12t + 36 ) - 36 = ( t + 6 )² - 36

= ( x² - 7x + 6 )² - 36 ≥ -36 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x² - 7x + 6 = 0 <=> x = 1 hoặc x = 6

Vậy MinF = -36 <=> x = 1 hoặc x = 6

x^2+y^2=xy => xy >= 0

x^2 + y^2 = xy <=> (x-y)^2 = -xy => -xy >= 0 <=> xy <= 0

=> xy = 0 => x^2+y^2 = 0 <=> x=y=0

F luôn bằng 0 => Max = min = 0

Max:

\(M=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2+y^2}=1+\frac{xy}{x^2+y^2}\le1+\frac{xy}{2\left|xy\right|}\le1+\frac{xy}{2xy}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y

Không mất tính tổng quát, giả sử x > y (do tổng x + y = 2009 là một số lẻ)\(\Rightarrow\)x \(\ge\)y+1 \(\Rightarrow\)x - y - 1 \(\ge\)0.

Từ đó, ta có: (x +1)(y -1) = xy - (x - y -1) \(\le\)xy.

Đến đây ta hiểu rằng, khi x và y càng xa nhau thì tích xy càng bé.

như vậy, GTLN của xy = 1005.1004; GTNN của xy = 2008.1