\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)

b ) chuyển vế tương tự

Ta có

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Dấu ''='' xảy ra <=>\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0<=>\sqrt{a}=\sqrt{b}<=>a=b\)

Tick cho tui nha,bạn hiền

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

tick mik nữa nha bn hiền

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

<=>  \(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

<=>  \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Mình không biết làm.

mik tự hào 2 tiếng thằng ngơ nhưng ko ngơ như cậu nghĩ đâu

Đề sai à, giả sử \(a>1\Rightarrow\frac{a+1}{a}< 2\)

Áp dụng BĐT Cô-si a²+b²>=2ab, ta đc:

x^2+y^2>=2.x.y=2xy

x^2+1>=2.x.1=2x

y^2+1>=2.y.1=2y

Cộng vế theo vế ba BĐT trên, ta đc: x^2+y^2+x^2+1+y^2+1>=2xy+2x+2y

(=) 2(x^2+y^2+1)>=2(xy+x+y)

(=)x^2+y^2+1>=xy+x+y.

Ta có : x^2 + y^2 +1 >= xy +x +y

   <=> 2(x^2+y^2 +1) >=2 ( xy+x+y)     (*nhân 2 vào cả 2 vế)

    <=> 2x^2+2y^2+2 >= 2xy+2x+2y

   <=> 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y >= 0

    <=> x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1 >=0

<=> (x-y)^2 + ( x-1)^2 +(y-1)^2 >= 0

+ Với x,y thì  (x-y)^2 >= 0;(x-1)^2>=0;(y-1)^2>=0 nên ...(ghi lại dòng trên) 

Vậy : x^2 +y^2+1 >= xy+x+y

lon hon hoac bang ban

\(2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)