Câu 1: a,Cho tam giác ABC có góc A nhọn nội tiếp đường tròn (O) bán kính R lấy D trên xung nhỏ BC gọi H,K,I lần lượt là hình chiếu của D trên BC ,AB và CA. Chứng minh:
\(\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{BC}{DH}\)
b, Xác định điểm D trên cung BC sao cho
\(\frac{AC}{DI}+\frac{AD}{DK}+\frac{BC}{DH}lớnnhất\)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Lấy điểm D trên cung BC không chứa A. Gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của D trên BC,CA,AB. Chứng minh rằng: a, \(\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}\)
b, H,I,K thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). D là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA.
a) Chứng minh H, I, K thẳng hàng ( Câu a không cần làm nhé)
b) Chứng minh \(\frac{BC}{DH}=\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\)
c) Tìm vị trí của D trên cung BC để IK có giá trị lớn nhất
d) Tìm vị trí của D trên cung BC để \(\frac{BC}{DH}+\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}\) có giá trị nhỏ nhất
e)/ Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB, AC. G là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh P, G, Q thẳng hàng
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) . Lấy điểm D trên cung BC không chứa A . Gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của D , trên BC ,CA, AB
Cmr : a) BC/DH =AC/DI + AB /DK
b) H,I,K thẳng hàng
a/ Gọi \(F\in BC/A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\)
Xét \(\Delta ADB\)và\(\Delta FDC\)ta có
\(\hept{\begin{cases}A\widehat{D}B=F\widehat{D}C\\B\widehat{A}D=F\widehat{C}D\end{cases}}\)(2 góc n.t chắn cung BD)
\(=>\Delta ADB\)đồng dạng \(\Delta CDF\)
=>\(\frac{AB}{CF}=\frac{DA}{DC}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta DAK\)và \(\Delta DCH\)ta có
\(K\widehat{A}D=H\widehat{C}D\)(2 góc n.t chắn cung BD)
\(A\widehat{K}D=C\widehat{H}D\left(=90^0\right)\)
=>\(\Delta DAK\)đồng dạng \(\Delta DCH\)(g-g)
=>\(\frac{DA}{DC}=\frac{DK}{DH}\left(2\right)\)
(1) và (2) => \(\frac{AB}{CF}=\frac{DK}{DH}\)=>\(\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}\left(3\right)\)
C/m tương tự => \(\frac{AC}{DI}=\frac{BF}{DH}\left(4\right)\)
(3),(4) => \(\frac{AC}{DI}+\frac{AB}{DK}=\frac{CF}{DH}+\frac{BF}{DH}=\frac{BC}{DH}\left(đpcm\right)\)
b/ Xét tứ giác BKDH ta có : \(B\widehat{K}D+B\widehat{H}D=180^0\)
=> Tứ giác BKDH n.t => \(K\widehat{B}D=K\widehat{H}D\)
Mà \(K\widehat{B}D=I\widehat{C}D\)( tứ giác ABDC n.t (O))
Nên \(K\widehat{H}D=I\widehat{C}D\left(5\right)\)
Xét tứ giác IHDC ta có : \(D\widehat{H}C=D\widehat{IC}\left(=90^0\right)\)
=> Tứ giác IHDC n.t => \(I\widehat{C}D+I\widehat{H}D=180^0\left(6\right)\)
(5),(6) => \(K\widehat{H}D+I\widehat{H}D=180^0\)=> H,I,K thẳng hàng
Đường thẳng simson thôi
Cho tam giac ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. D là môt điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, CA.
a) CM: I, H, K thẳng hàng
b) CM : \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{BC}{DH}\)
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, HK. CM \(PQ\perp DQ\)
a) Ta có tứ giác DIKC nội tiếp nên \(\widehat{DKI}=\widehat{ICD}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung ID)
Lại có tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{ICD}=\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{HAD}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Tứ giác AHDK cũng nội tiếp nên \(\widehat{HAD}=\widehat{DKH}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
Vậy nên \(\widehat{DKI}=\widehat{DKH}\) hay H, K, I thẳng hàng.
Cảm ơn cô nhưng em cần câu b và câu c
Giả sử \(AC\ge AB\)
tứ giác \(ABDC\)nội tiếp đường tròn
=>\(\widehat{IBD}=\widehat{KCD}\left(=180-\widehat{ACD}\right)\)
Do đó \(\Delta IBD\)đồng dạng \(\Delta KCD\)(góc nhọn)
=>\(\frac{BI}{ID}=\frac{CK}{DK}\)
TA CÓ \(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{BI}{DI}+\frac{AK}{DK}-\frac{CK}{DK}=\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}\)
TA CÓ \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{BD}\right)\)\(\widehat{\Rightarrow\cot BAD}=\widehat{\cot BCD}\Leftrightarrow\frac{AI}{DI}=\frac{CH}{DH}\)(1)
TƯƠNG TỰ \(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}\left(=\frac{1}{2}\widebat{MC}\right)\Rightarrow\frac{AK}{DK}=\frac{BH}{DH}\)(2)
TỪ (1) VÀ (2)=>\(\frac{AI}{DI}+\frac{AK}{DK}=\frac{CH}{DH}+\frac{BH}{DH}=\frac{BC}{DH}\)
=>\(\frac{AB}{DI}+\frac{AC}{DK}=\frac{BC}{DH}\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi. D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB
a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
b) Gọi I, J, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua D, E, F. Chứng minh rằng I, J, K cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
Một số bài toán hay về tâm nội tiếp:
Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), hai điểm K,L di chuyển trên (O) (K thuộc cung AB không chứa C, L thuộc cung AC không chứa B) thỏa mãn KL song song với BC. Gọi U và V lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác AKB,ALC. Chứng minh rằng tâm của (UAV) thuộc đường thẳng cố định.
Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC. AC cắt BD tại I. Gọi S,T là tâm nội tiếp các tam giác AID,BIC. M,N là trung điểm các cạnh AB,CD. Chứng minh rằng MN chia đôi ST.
Bài 3: Cho tam giác ABC, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Kẻ DH vuông góc EF tại H, G là trung điểm DH. Gọi K là trực tâm tam giác BIC. Chứng minh rằng GK chia đôi EF.
Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. Gọi AI cắt DE,DF tại K,L; H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng bốn điểm H,K,L,M cùng thuộc một đường tròn có tâm nằm trên (Euler) của tam giác ABC.
chị gisp em bài này
Cho đường tròn (0,R), dây cung BC không đi qua tâm. Điểm A di động trên cung nhỏ BC (AB < AC) . Kẻ đường kính AP. Gọi D là hình chiếu của A trên BC, gọi E.Flần lượt là hình chiếu của điểm B.C trên AP. a) Chứng minh tứ giác là tứ giác ABDE nội tiếp b) Chứng minh BD. AC = AD.PC c) Gọi I là trung điểm của BC . Đường thẳng OI cắt DP tại K. Gọi N là điềm đối xứng của D qua I. Chứng minh IK//NP và EN//AC d) Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm . Trên cung nhỏ lấy điểm sao cho không là đường kính ( không trùng ). Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm trên các đường thẳng . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
