a,  \(\frac{xy}{2y+4x}=\frac{yz}{4z+6y}=\frac{zx}{6x+2z}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2^2+4^2+6^2}\)          (2)

Xét \(x=0\Rightarrow y=z=0\Rightarrow2y+4z=0\)  (vô lí)

\(\Rightarrow x\ne0;y\ne0;z\ne0\)

Khi đó từ (2) \(\Rightarrow\frac{2y+4x}{xy}=\frac{4z+6y}{yz}=\frac{6x+2z}{zx}=\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x}+\frac{4}{y}=\frac{4}{y}+\frac{6}{z}=\frac{6}{z}+\frac{2}{x}=\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{x}=\frac{4}{y}=\frac{6}{z}\) và \(\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}=2.\frac{2}{x}\)

Đặt \(\frac{2}{x}=\frac{4}{y}=\frac{6}{z}=\frac{1}{k}\left(k\ne0\right)\)thì \(\frac{2^2+4^2+6^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{k}\)

\(\Rightarrow x=2k;y=4k;z=6k\)và \(x^2+y^2+z^2=28k\)   (3)

\(thay\)  \(x=2k;y=4k;z=6k\)vào (3)  ta được :

\(\left(2k\right)^2+\left(4k\right)^2+\left(6k\right)^2=28k\)

\(56k^2-28k=0\)

\(56k.\left(2k-1\right)=0\)

\(\Rightarrow k=0\)(loại)

Hoặc \(k=\frac{1}{2}\)( thỏa mãn)

Với \(k=\frac{1}{2}\)thì tìm được \(x=1;y=2;z=3\)

Vậy \(x=1;y=2;z=3\)

Ta có :

\(|x-y|+|y-z|+|z-x|=2019\)

\(\Rightarrow|x-y|+\left(x-y\right)+|y-z|+\left(y-z\right)+|z-x|+\left(z-x\right)=2019\)

Nhận xét :

\(|a|+a=0\)với \(a\le0\)

\(|a|+a=2a\)với \(a\ge0\)

\(\Rightarrow|a|+a\)luôn chẵn với \(\forall a\)

\(\Rightarrow|x-y|+\left(x-y\right)+|y-z|+\left(y-z\right)+|z-x|+\left(z-x\right)\)luôn chẵn với \(\forall x,y,z\)

mà \(2019\)lẻ

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

1.

Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)

\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản

\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản

2.

Giả thiết tương đương:

\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)

Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)

Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)

\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)

Chết ạ, mình bị nhầm đề, phải là: xy/2y+4x = yz/4z+6y = zx/6x+2z = xyz/x+y+z

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Hacker Chuyên Nghiệp - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

2.  (x+10).(y+2)=1

tự tính

Nếu một trong các số x,y,z bằng không thì dễ thấy các số còn lại cũng bằng 0

Suy ra x;y;z khác 0

Đặt \(2=a;4=b;6=c\) khi đó ta có:

\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}\)

\(\Rightarrow\frac{xyz}{ayz+bxz}=\frac{xyz}{bxz+xcy}=\frac{xyz}{cyx+ayz}\)

Mà \(x;y;z\ne0\) suy ra:

\(ayz+bxz=bxz+xcy=cxy+ayz\)

\(\Rightarrow az=cx;bx=ay\)

\(\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\)

\(\Rightarrow x=ak;y=bk;z=ck\)

Khi đó:\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{ak\cdot bk}{abk+abk}=\frac{a^2k^2+b^2k^2+c^2k^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{k}{2}=k^2\)

\(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{a}{2};y=\frac{b}{2};z=\frac{c}{2}\)

Thay số vào,ta được:

\(x=1;y=2;z=3\)