a)\(1+2+3+4+...+x=36\)

 \(\Leftrightarrow\frac{x\cdot\left(x+1\right)}{2}=36\)

\(x\left(x+1\right)=72\)

x và x+1 là 2 số  tự nhiên liên tiếp mà 8 x 9 = 72

=> x = 8

b) \(1+2+3+4+...+x=820\)

\(\frac{x\cdot\left(x+1\right)}{2}=820\Leftrightarrow x\cdot\left(x+1\right)=1640\)

 x và x + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà 40 x 41 = 1640

=> x = 40

c) \(2+4+6+8+...+2x=110\)

\(\frac{2x\cdot\left(2x+2\right)}{4}=110\Leftrightarrow2x\cdot\left(2x+2\right)=440\)

2x và 2x+2 là 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp mà 20 x 22  = 440

=> 2x = 20 

=> x = 10 : 2 = 10

*ta có công thức như sau 1+2+3+...+n=n x (n+1) : 2

từ đó => 1+2+3+...+n=36

suy ra n x (n+1) : 2 = 36

=> n x (n+1) = 72 

ta có n x (n+1) =8x9

vì n < n+1 => n=8

*câu tiếp theo tương tự

2+4+...+2x=110

=> 2 x 1 + 2 x 2 +...+ 2 x X =110

=> 2 x ( 1 + 2 +...+X)=110

=>1 + 2 + ...+X = 110 : 2 = 55

theo như công thức trên ta có X x (X+1) =55

nếu vậy x ko có giá trị nào

                  1+ 2 + 3 + ... + n = 820

Xét dãy số: 1; 2; 3;...;n Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (n  -1) : 1 + 1 = n

Tổng của dãy số trên là: (n + 1).n : 2

Ta có: (n + 1).n : 2 = 820 

          (n + 1).n = 1640 

          (n + 1).n = 40.41

           n = 40

Vậy n = 40

1: Để 2/x là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}>0\\x\inƯ\left(2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

2: Để 3/x là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}>0\\x\inƯ\left(3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{1;3\right\}\)

3: Để 4/x là số tự nhiên là \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}>0\\x\inƯ\left(4\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{1;2;4\right\}\)

4: Để 5/x là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{x}>0\\x\inƯ\left(5\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{1;5\right\}\)

5: Để 6/x là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{x}>0\\x\inƯ\left(6\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{1;2;3;6\right\}\)

6: Để 9/x+1 là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+1>0\\x+1\inƯ\left(9\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+1\in\left\{1;3;9\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;2;8\right\}\)

7: Để 8/x+1 là số tự nhiên thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1\inƯ\left(8\right)\\x+1>0\end{matrix}\right.\)

=>x+1 thuộc {1;2;4;8}

=>x thuộc {0;1;3;7}

8: Để 7/x+1 là số tự nhiên thì

x+1>0 và x+1 thuộc Ư(7)

=>x+1 thuộc {1;7}

=>x thuộc {0;6}

9: Để 6/x+1 là số tự nhiên thì

x+1>0 và x+1 thuộc Ư(6)

=>x+1 thuộc {1;2;3;6}

=>x thuộc {0;1;2;5}

10: Để 5/x+1 là số tự nhiên thì

x+1>0 và x+1 thuộc Ư(5)

=>x+1 thuộc {1;5}

=>x thuộc {0;4}

????????????????

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 820

n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + ( n - 3 ) +... + 1 = 820

= ( n + 1 ) + ( n + 1 ) + ( n + 1 ) + ... + ( n + 1 ) = 820 + 820

=> n ( n + 1 ) = 820 x 2

=> n² + n + 1 = 1641

=> n² + n/2 + n/2 + 1/4 + 3/4 = 1641

=> ( n + 1/2 )² = 1641 - 3/4 = 6561/4 = ( 81/2 )²

=> n + 1/2 = 81/2

=> n = 81/2 - 1/2

=> n = 40