Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình x²+2x+y²+10

Xét x=0 ta được:

 \(y^2=3+2^0=4\Leftrightarrow y=2\)(do, y Tự nhiên)

Xét x=1: ta có \(y^2=3+2=5\)không có nghiệm Tự nhiên thỏa mãn

Xét x>1: ta có:

\(2^x\ge4\Rightarrow2^x⋮4\)

Do đó: \(2^x+3\)chia 4 dư 3

Mà \(y^2\)là số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1

Nên \(\forall x>1,\)pt không vó nghiệm tự nhiên thỏa mãn

KL: Vậy (x,y)=(0,2) là nghiệm duy nhất

\(x^2+y^3-3y^2=65-3y\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^3=64=0^2+4^3=8^2+0^3=\left(-8\right)^2+0^3\)( Vì \(x,y\inℤ\))

TH1: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y-1=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=5\end{cases}}}\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x=8\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=1\end{cases}}}\)

TH3: \(\hept{\begin{cases}x=-8\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-8\\y=1\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow x^2+2x+1-y^2-4y-4-7=0\\ \Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2=16\\\left(y+2\right)^2=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\y+2=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=-4\\y+2=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)