\(\frac{2018}{ab+2018a+2018}+\frac{b}{bc+a+2018}+\frac{c}{ac+c+1}\)

\(a.b.c=2018\Rightarrow a,b,c\ne0\)

Ta có \(\frac{2018}{ab+2018a+2018}\Rightarrow\frac{2018}{b+2018+bc}\)

\(\frac{c}{ac+c+1}=\frac{bc}{abc+bc+b}=\frac{bc}{2018+bc+b}\)

\(\Rightarrow S=\frac{2018}{b+2018+bc}+\frac{b}{bc+b+2018}+\frac{bc}{2018+bc+b}=\frac{2018+b+bc}{b+2018+bc}=1\)

để nghĩ tiếp

làm tiếp 

\(\frac{2013x+1}{2014x-2014}=\frac{2013\left(x-1\right)+2014}{2014\left(x-1\right)}=\frac{2013}{2014}+\frac{1}{x-1}\)

\(B_{max}\Leftrightarrow\frac{1}{x-1}max\)

+) Nếu x >1 thì x-1 >0 \(\Rightarrow\frac{1}{x-1}>0\)

+) Nếu x<1 thì x-1 <0 \(\Rightarrow\frac{1}{x-1}< 0\)

Xét x > 1 ta có 

\(\frac{1}{x-1}max\Rightarrow x-1\)là số nguyên dương nhỏ nhất 

\(\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2\)

Vậy \(Bmax=1\frac{2018}{2019}\Leftrightarrow x=2\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+2013x\right)^{2014}-\left(1-2014x\right)^{2013}}{x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2013.2014\left(1+2013x\right)^{2013}+2013.2014\left(1-2014x\right)^{2012}}{2x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2013^3.2014\left(1+2013x\right)^{2012}-2012.2013.2014^2\left(1-2014x\right)^{2011}}{2}\)

\(=\dfrac{2013^3.2014-2012.2013.2014^2}{2}=...\)

ta có:

x^4+2014x^2+2013x+2014 = x^4+2013x^2+x^2+2013x+2013+1

                                        =(x^4+x^2+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+1)^2-x^2+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+x+1)(x^2+x+2014)

x⁴+2014x²+2013x+2014=(x⁴-x)+(2014x²+2014x+2014)

                                  =x(x-1)(x²+x+1)+2014(x²+x+1)

                                  =(x^2+x+1)(x²-x+2014)

x^4+2014x^2+2013x+2014 = x^4+2013x^2+x^2+2013x+2013+1

                                        =(x^4+x^2+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+1)^2-x^2+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+x+1)(x^2+x+2014)

x^4+2014x^2+2013x+2014 = x^4+2013x^2+x^2+2013x+2013+1
=(x^4+x^2+1)+2013(x^2+x+1)
=(x^2+1)^2-x^2+2013(x^2+x+1)
=(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)

Đặt \(x^2=y\Rightarrow Q=y^2+2014y+2013\sqrt{y}+2014\)

Xét \(2013\sqrt{y}\) thì \(y\ge0\) để \(2013\sqrt{y}\)đúng.

Do đó: \(Q=y^2+2014y+2013\sqrt{y}+2014\ge2014>0\)

Vậy Q luôn dương với mọi số