\(x^2-6x+y^2+10y=24\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2+10x+25=58\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y+5\right)^2=58\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\le58\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\in\left\{0;1;4;9;16;25;36;49\right\}\)

Dễ nhận thấy chỉ có tổng của 49 và: 9; 9 và 49 thỏa mãn (vì các số trên là số chính phương

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2=49\Leftrightarrow x-3=7\Leftrightarrow x=10\\\left(y+5\right)^2=9\Leftrightarrow y+5=3\Leftrightarrow y=-2\end{cases}}\\\end{cases}}\)<=> (x-3)^2+(y+5)^2=49+9=9+49

+) (x-3)^2+(y+5)^2=49+9

=> x-3=7=>x=10 và: y+5=3=>y=-2

+) (x-3)^2+(y+5)^2=9+49

=> (x-3)=3=>x=6 và y+5=7=>y=2

Vậy có 2 cặp (x,y)={(6;2);(10;-2)}

thỏa mãn điều kiện

Bạn xem lại đề, nghiệm của hệ này rất xấu (chính xác là ko thể giải được nếu ko áp dụng công thức nghiệm Cardano của pt bậc 3)

Có: \(6x^2y^3+3x^2-10y^3=-2\)

<=> \(3x^2\left(2y^3+1\right)-5\left(2y^3+1\right)+5=-2\)

<=> \(\left(2y^3+1\right)\left(3x^2-5\right)=-7\)

Th1: \(\hept{\begin{cases}2y^3+1=-7\\3x^2-5=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y^3=-4\\x^2=2\end{cases}\left(loai\right)}\)

Th2: \(\hept{\begin{cases}2y^3+1=-1\\3x^2-5=7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y^3=-1\\x^2=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=-1\\x=\pm2\end{cases}}\)

Th3: \(\hept{\begin{cases}2y^3+1=1\\3x^2-5=-7\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y^3=0\\x^2=-\frac{2}{3}\end{cases}\left(loai\right)}\)

Th4: \(\hept{\begin{cases}2y^3+1=7\\3x^2-5=-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y^3=3\\x^2=\frac{4}{3}\end{cases}\left(loai\right)}\)

Vậy phương trình có nghiệm: ( -2;-1) và ( 2; -1)

\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+12x^2-32x+32=\left(y-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+8\right)=\left(y-5\right)^2\)

- Với \(x=2\Rightarrow y=5\)

- Với \(x\ne2\Rightarrow x-2\) là ước của \(y-5\) 

Đặt \(y-5=n\left(x-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2\left(x^2+8\right)=n^2\left(x-2\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+8=n^2\)

\(\Rightarrow\left(n-x\right)\left(n+x\right)=8\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;n=-3\Rightarrow y=8\\x=-1;n=-3\Rightarrow y=14\\x=1;n=3\Rightarrow y=2\\x=-1;n=3\Rightarrow y=-4\end{matrix}\right.\)