Tham  khảo:Cho số nguyên tố P. Biết 2P+1 và 4P+1 cũng là số nguyên tố. Tìm P

 Xét các trường hợp : 
+ P = 2 ---> 2P + 1 = 5 (là số n/tố) ; 4P + 1 = 9 (là hợp số nên P = 2 loại) 
+ P = 3 ---> 2P + 1 = 7; 4P + 1 = 13 (đều là số n/tố ---> P = 3 thỏa mãn) 
+ P > 3 
..Vì P là số n/tố và P > 3 ---> P ko chia hết cho 3 ---> P = 3k+1 hoặc P = 3k+2 
a) Nếu P = 3k+1 ---> 2P + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 (là hợp số nên t/h này bị loại) 
b) Nếu P = 3k+2 ---> 4P + 1 = 12k + 9 chia hết cho 3 (là hợp số nên t/h này cũng bị loại) 
Vậy chỉ có 1 đáp án là P = 3

Gửi bạn nhé, bài này mình đã làm rồi , chúc bạn học tốt !

p2p2 là số chính phương nên p2p2 chia 7 dư 0,1,2 hoặc 4
- Nếu p2⋮7p2⋮7 thì p⋮7⇒p=7p⋮7⇒p=7 , thay vào thỏa mãn

-Nếu p2p2 chia 7 dư 1 thì 3p2+43p2+4 ⋮7⇒⋮7⇒ trái với đề bài

- Nếu p2p2 chia 7 dư 2 3p2+1⋮7⇒3p2+1⋮7⇒ vô lí

-Nếu p2p2 chia 7 dư 4 2p2−1⋮7⇒2p2−1⋮7⇒ vô lí

Vậy p=7

Xét với p=2 suy ra 3p²+4 = 3.4+4=16 ( 16 là hợp số) nên p=2  (loại)

Với p=3 suy ra 2p ²+3=2.9+3=21 ( 21 là hợp số) nên p = 3 ( loại)

Với p = 5 suy ra 2p²-1=2.25-1=49 ( 49 là hợp số ) nên p = 5 (loại)

Với p = 7 suy ra 2p²-1=2.49-1=97 (là số nguyên tố)

                        2p ²+3= = 2.49 + 3 = 101(là số nguyên tố)

                          3p²+4 =3.49+4=151 (là số nguyên tố)

p = 7( thỏa mãn)

Với p > 7: Xét các trường hợp 

+ p=7k+1 suy ra   3p² +4 = 147k²+42k+7 chia hết cho 7 và 147k²+42k+7  > 7 nên  3p² +4  là hợp số 

+ p=7k+2  (các bạn tự thay vào nhé)

+p=7k+3

+ p=7k + 4

p=7k + 5

+ p = 7k+6

Vậy p=7

Bài 1:

Nếu p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 không là số nguyên tố

2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

Nếu p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5 là số nguyên tố

3 + 4 = 7 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 

Khi p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 1 không thỏa mãn

Khi p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p = 3k + 2 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất.

Bài 2:

Khi ta xét 3 số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1; 4p + 2 thì chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3

p là số nguyên tố; p > 3 nên p không chia hết cho 3 => 4p không chia hết cho 3

Ta thấy 2p + 1 là số nguyên tố; p > 3 => 2p + 1 > 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 => 2(2p + 1) không chia hết cho 3 -> 4p + 2 không chia hết cho 3

Vì thế 4p + 1 phải chia hết cho 3

Mà p > 3 nên 4p + 1 > 3

=> 4p + 1 không là số nguyên tố. 4p + 1 là hợp số.

Bài 3:

a) Nếu p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 không là số nguyên tố

p + 8 = 2 + 8 = 10 không là số nguyên tố

Vậy p = 2 không thỏa mãn

 Nếu p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố

p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố

Vậy p = 3 thỏa mãn

Nếu p > 3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) không là số nguyên tố

p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) không là số nguyên tố

Vậy p > 3 không thỏa mãn

Vậy p = 3 thỏa mãn duy nhất

Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4

xét p=7 dễ thấy đó là số cần tìm

giả sử p2p2 chia 7 dư 1 =>  3p2+43p2+4 chia hết cho 7 và lớn hơn 7 nên vô lí

tương tự với các TH p2p2 chia 7 dư 2, dư 4, ta đều suy ra điều vô lí

=> p chia hết cho 7 nên p=7

b/ biến đổi biểu thức đã cho trở thành 3(x−3)2+(3y2+2)(z2−6)=423(x−3)2+(3y2+2)(z2−6)=42

từ biểu thức trên suy ra z2−6z2−6 chia hết cho 3

xét z <3, ta có:

z=2=>z2−6=−2z2−6=−2 không chia hết cho 3

z=1=> z2−6=−5z2−6=−5 không chia hết cho 3

suy ra z≥3z≥3 => (3y2+2)(z2−6)>0(3y2+2)(z2−6)>0

suy ra (x−3)2≤9(x−3)2≤9 lần lượt xét các giá trị của (x−3)2(x−3)2 là 0;1;2;3 sau đó dựa vào (3y2+2)(3y2+2) chia 3 dư hai, ta tìm đk 3 cặp nghiệm:

(x;y;z)=(0;1;3);(6;1;3);(3;2;3)

Duyệt nha 

Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4

xét p=7 dễ thấy đó là số cần tìm

giả sử p2p2 chia 7 dư 1 =>  3p2+43p2+4 chia hết cho 7 và lớn hơn 7 nên vô lí

tương tự với các TH p2p2 chia 7 dư 2, dư 4, ta đều suy ra điều vô lí

=> p chia hết cho 7 nên p=7

b/ biến đổi biểu thức đã cho trở thành 3(x−3)2+(3y2+2)(z2−6)=423(x−3)2+(3y2+2)(z2−6)=42

từ biểu thức trên suy ra z2−6z2−6 chia hết cho 3

xét z <3, ta có:

z=2=>z2−6=−2z2−6=−2 không chia hết cho 3

z=1=> z2−6=−5z2−6=−5 không chia hết cho 3

suy ra z≥3z≥3 => (3y2+2)(z2−6)>0(3y2+2)(z2−6)>0

suy ra (x−3)2≤9(x−3)2≤9 lần lượt xét các giá trị của (x−3)2(x−3)2 là 0;1;2;3 sau đó dựa vào (3y2+2)(3y2+2) chia 3 dư hai, ta tìm đk 3 cặp nghiệm:

(x;y;z)=(0;1;3);(6;1;3);(3;2;3)

Duyệt nha 

Ta xét một số CP khi chia 7 chỉ có thể dư 0;1;2;4

xét p=7 dễ thấy đó là số cần tìm

giả sử p2p2 chia 7 dư 1 =>  3p2+43p2+4 chia hết cho 7 và lớn hơn 7 nên vô lí

tương tự với các TH p2p2 chia 7 dư 2, dư 4, ta đều suy ra điều vô lí

=> p chia hết cho 7 nên p=7

b/ biến đổi biểu thức đã cho trở thành 3(x−3)2+(3y2+2)(z2−6)=423(x−3)2+(3y2+2)(z2−6)=42

từ biểu thức trên suy ra z2−6z2−6 chia hết cho 3

xét z <3, ta có:

z=2=>z2−6=−2z2−6=−2 không chia hết cho 3

z=1=> z2−6=−5z2−6=−5 không chia hết cho 3

suy ra z≥3z≥3 => (3y2+2)(z2−6)>0(3y2+2)(z2−6)>0

suy ra (x−3)2≤9(x−3)2≤9 lần lượt xét các giá trị của (x−3)2(x−3)2 là 0;1;2;3 sau đó dựa vào (3y2+2)(3y2+2) chia 3 dư hai, ta tìm đk 3 cặp nghiệm:

(x;y;z)=(0;1;3);(6;1;3);(3;2;3)

Duyệt nha !!!

Bài này cũng khó đó !

vs p=2 bn tu xet nha. vs p=3k+1 thi bn cx tu xet .vs p=3k+2 thi bn cx tu xet vs p=3k ma p la snt nen p=3 khi do bn tu thay vao

bẠN tự xét p  có dạng 3k,3k+1,3k+2 nha

thì sẽ được p có dạng 3k thì 2p-1 và 2p+1 là snt

mà p là snt =>p=3

       Bài làm :

Xét 3 trường hợp :

⇒2.p+ 1= 7

2.p+ 5= 11 ( thỏa mãn)

⇒ 2.p+ 1= 2. ( 3.k+ 1) + 1= 6.k+ 2+ 1= 6.k+ 3= 3. (2.k+ 1) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

⇒ Loại

⇒ 2.p+ 5= 6.k+ 4+ 5= 6.k+ 9= 3. (2.k+ 3) chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số

⇒ Loại

Vậy p= 3

xét p=2=>2p+1=5;8p²+1=33         loại

xét p=3:

=>2p+1=7;8p²+1=73         t/mãn

xét p>3:

=>p² chia 3 dư 1

=>8p² chia 3 dư 2

=>8p²+1 chia hết cho 3           loại

vậy p=3