chia hết cho x+1 nha mn

Theo định lý Bézout thì số dư khi chia đa thức A(x) cho nhị thức x + 1 là: \(r=A\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+c.\left(-1\right)+d=-a+b-c+d=0\)

Vậy A(x) chia hết cho x + 1 (đpcm)

Ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5

=> \(ax^3\)chia hết cho 5

\(bx^2\)chia hết cho 5

\(cx\)chia hết cho 5

\(d\)chia hết cho 5

Suy ra cả a,b,c,d đều chia hết cho 5

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\forall x\in Z\)

+ Với x=0 ta có \(f\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)

+ Với x=1 ta có \(f\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)

+ Với x=-1 ta có \(f\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)

+ Với x=2 ta có \(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\left(4\right)\)

+ Với x=-2 ta có\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d⋮5\left(5\right)\)

Từ (1),(2),(3),(4) và (5) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮5\\-a+b-c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c-a+b-c\right)⋮5\)

\(\Rightarrow2b⋮5\)

\(\Rightarrow b⋮5\) (vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau) \(\left(6\right)\)

Từ (1),(2),(4) và (6) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\a+c⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8\left(a+c\right)⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8a+8c⋮5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(8a+2c\right)-\left(8a+8c\right)⋮5\Rightarrow6c⋮5\)

\(\Rightarrow c⋮5\) (vì ƯCLN(6,5)=1)

\(\Rightarrow a⋮5\) (vì \(a+c⋮5\) )

Vậy \(a,b,c,d⋮5\)

Có \(P\left(x\right)⋮5\)với mọi x

=> \(P\left(0\right)=d⋮5\)

     \(P\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\)

     \(P\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\)

     \(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\)

     \(P\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d\)

=> \(a+b+c⋮5\)và \(-a+b-c⋮5\)

=> \(a+b+c+\left(-a+b-c\right)⋮5\)

=> \(2b⋮5\)

Mà 2 là SNT và b nguyên

=> \(b⋮5\)

=> \(a+c⋮5\); \(-a-c⋮5\); \(8a+2c⋮5\); \(-8a-2c⋮5\)

=> \(2\left(a+c\right)⋮5\)

=> \(2a+2c⋮5\)

=> \(2a+2c+\left(-8a-2c\right)⋮5\)

=> \(-6a⋮5\)

mà 6 không chia hết cho 5

=> \(a⋮5\)

=> \(b⋮5\)

quá đơn giản với BỐ

trong bo de thay co giai do

Ta có:

\(P\left(0\right)=d\)

=> d chia hết cho 5

\(P\left(1\right)=a+b+c+d\)

=> a + b + c chia hết cho 5 (1)

\(P\left(-1\right)=-a+b-c+d\) chia hết cho 5 (2)

Cộng (1) và (2) ta được:

2b + 2d chia hết cho 5

Mà d chia hết cho 5 => 2d chia hết cho 5

=> 2b chia hết cho 5

=> b chia hết cho 5

\(P\left(2\right)=8a+4b+2c+d\) chia hết cho 5

=> 8a + 2c chia hết cho 5 ( Vì 4b + d chia hết cho 5 )

=> 6a + 2a + 2c chia hết cho 5

=> 6a + 2( a + c ) chia hết cho 5

=> 2( a + c ) chia hết cho 5 ( Vì a + b + c chia hết cho 5, b chia hết cho 5 )

=> 6a chia hết cho 5

=> a chia hết cho 5

=> c chia hết cho 5

Vậy a ; b ; c ; d chia hết cho 5