Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của I lên các cạnh BC,BA,CA

Xét \(\Delta\)BIN và \(\Delta\)BIM có
\(\widehat{IBN}=\widehat{IBM}\)(BI là phân giác)

BI chung

=> \(\Delta\)BIN = \(\Delta\)BIM (cạnh huyền-góc nhọn)

=> IM=IN

CM tương tự có: \(\Delta\)CIP=\(\Delta\)CIM => IM=IP

=> IM=IN=IP

Xét \(\Delta\)AIN và \(\Delta\)AIP vuông tại N và P có:

IA chung

IN=IM

=>  \(\Delta\)AIN = \(\Delta\)AIP (cạnh huyền -cạnh góc vuông)

=> \(\widehat{IAN}=\widehat{IAP}\)=> IA là phân giác góc A (DPCM)

Ta có hình vẽ:

Kẻ \(ID\perp AB,IE\perp BC,IF\perp AC\)

Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:

     \(\widehat{IDB}=\widehat{IEB}=90^o\)

     \(\widehat{DBI}=\widehat{EBI}\left(gt\right)\)

     BI là cạnh huyền trung

    \(\Rightarrow\Delta IDB=\Delta IEB\)(cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có:

     \(\widehat{IEC}=\widehat{IFC}=90^o\)

     \(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\left(gt\right)\)

     CI là cạnh huyền trung

     \(\Rightarrow\Delta IEC=\Delta IFC\: \)(cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: ID = IF

Xét tam giác vuông IDA và IFA, ta có:

      \(\widehat{IDA}=\widehat{IFA}=90^o\)

      ID = IF (chứng minh trên)

      AI là cạnh huyền trung

Suy ra: \(\Delta IDA=\Delta IFA\)(cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{DAI}=\widehat{FAI}\) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)

Hoặc bạn kham khảo tại link:

Gọi IM , IN, IP lần lượt là khoảng cách từ điểm I đến BC, AB , AC

Vì BI là tia phân giác của \(\widehat{B}\)

=> IM=IN ( theo t/c điểm trên tia phân giác của 1 góc)   (1)

Vì CI là tia phân giác của\(\widehat{C}\)

=> IM=IP (theo t/c điểm nằm trên tia pg của 1 góc)       (2)

Từ (1) và (2) 

=> IN=IP (=IM)

=> I cách đều 2 cạch của \(\widehat{A}\)

=> AI là tia pg tam giác ABC (đpcm)

Kẻ ID \(\perp\) AB, IE \(\perp\) BC, IF \(\perp\) AC

Xét hai tam giác vuông IBD và IBE có:

IB: cạnh chung

\(\widehat{DBI}=\widehat{EBI}\) (gt)

Vậy: \(\Delta IBD=\Delta IBE\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\) ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông ICF và ICE có:

IC: cạnh chung

\(\widehat{FCI}=\widehat{ECI}\) (gt)

Vậy: \(\Delta ICF=\Delta ICE\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\) IF = IE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF

Xét hai tam giác vuông AID và AIF có:

AI: cạnh chung

ID = IF (cmt)

Vậy: \(\Delta AID=\Delta AIF\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{IAF}\) (hai góc tương ứng)

Do đó: AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\).

Hình tự vẽ !

Vì Tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I

=> I là giao điểm của 3 tia phân giác trong tam giác ABC

=> AI là tia phân giác của góc A ( đpcm ) 

Cái này bạn đổi điểm K thành điểm M là xong nha

Kẻ IG,IK,IH lần lượt vuông góc với AB,BC,AC

Kẻ MO,MD,ME lần lượt vuông góc với AB,BC,AC

Xét ΔBKI vuông tại K và ΔBGI vuông tại G có

BI chung

góc KBI=góc GBI

Do đó: ΔBKI=ΔBGI

Suy ra: IK=IG(1)

Xét ΔCKI vuông tại K và ΔCHI vuông tại H có

CI chung

góc KCI=góc HCI

Do dó: ΔCKI=ΔCHI

Suy ra: IK=IH(2)

Từ (1) và (2) suy ra IG=IH

mà I nằm trong ΔABC và IG,IH là các đường cao ứng với các cạnh AB,AC

nên AI là phân giác của góc BAC(3)

Xét ΔBOM vuông tại O và ΔBDM vuông tại D có

BM chung

góc OBM=góc DBM

Do đó: ΔBOM=ΔBDM

Suy ra: MO=MD(4)

Xét ΔMDC vuông tại D và ΔMEC vuông tại E có

CM chung

góc DCM=góc ECM

Do đó: ΔMDC=ΔMEC

Suy ra: MD=ME(5)

Từ (4) và (5) suy ra MO=ME

mà M nằm ngoài ΔABC và MO,ME là các đường cao ứng với các cạnh AB,AC

nên AM là phân giác của góc BAC(6)

Từ (3) và (6) suy ra A,I,M thẳng hàng