Question

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tạ I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A

Hướng dẫn : Từ I, kẻ các đường vuông góc với các cạnh của tam giác ABC

Answer 1

Kẻ ID \(\perp\) AB, IE \(\perp\) BC, IF \(\perp\) AC

Xét hai tam giác vuông IBD và IBE có:

IB: cạnh chung

\(\widehat{DBI}=\widehat{EBI}\) (gt)

Vậy: \(\Delta IBD=\Delta IBE\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\) ID = IE (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét hai tam giác vuông ICF và ICE có:

IC: cạnh chung

\(\widehat{FCI}=\widehat{ECI}\) (gt)

Vậy: \(\Delta ICF=\Delta ICE\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\) IF = IE (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF

Xét hai tam giác vuông AID và AIF có:

AI: cạnh chung

ID = IF (cmt)

Vậy: \(\Delta AID=\Delta AIF\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{IAF}\) (hai góc tương ứng)

Do đó: AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\).