Lời giải:
Theo đề:
$a-3\vdots 7\Rightarrow a-10\vdots 7$

$a-1\vdots 9\Rightarrow a-10\vdots 9$

$\Rightarrow a-10\vdots BCNN(7,9)$

$\Rightarrow a-10\vdots 63$

Đặt $a-10=63k$ với $k$ nguyên 

$a=63k+10$

$350\leq a\leq 500$

$350\leq 63k+10\leq 500$

$\frac{340}{63}\leq k\leq \frac{490}{63}$

Vì $k$ nguyên nên $k\in \left\{6; 7\right\}$

Nếu $k=6$ thì $a=388$ không chia hết cho $11$ (loại)

Nếu $k=7$ thì $a=451$ (tm)

Vậy........

Lời giải:

Theo bài ra:

$a-2\vdots 3; a-3\vdots 7$

$\Rightarrow a-2+3.2\vdots 3; a-3+7\vdots 7$

$\Rightarrow a+4\vdots 3$ và $a+4\vdots 7$

$\Rightarrow a+4=BC(3,7)\Rightarrow a+4\vdots BCNN(3,7)$

$\Rightarrow a+4\vdots 21$. 

Đặt $a=21k-4$ với $k$ tự nhiên.

Vì $a$ chia $11$ dư $9$ nên:

$a-9\vdots 11\Rightarrow 21k-4-9\vdots 11$

$\Rightarrow 21k-13\vdots 11\Rightarrow 21k-13+11.5\vdots 11$

$\Rightarrow 21k+42\vdots 11$

$\Rightarrow 21(k+2)\vdots 11\Rightarrow k+2\vdots 11$

$\Rightarrow k=11m-2$ với $m$ tự nhiên.

Vậy $a=21k-4=21(11m-2)-4=231m-46$

Để $a$ là số tự nhiên nhỏ nhất thì $m$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $231m-46\geq 0$

$\Rightarrow m\geq 1$.

$\Rightarrow m$ nhỏ nhất bằng 1.

$\Rightarrow a$ nhỏ nhất bằng: $231.1-46=185$