a: Xét tứ giác ABMN có 

AN//BM

AN=BM

Do đó: ABMN là hình bình hành

mà AB=BM

nên ABMN là hình thoi

a: Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

Suy ra: DM//BN

hay DM//BK

=>BMDK là hình thang

b: Xét tứ giác BMNA có

BM//NA

BM=NA

Do đó: BMNA là hình bình hành

mà BM=BA

nên BMNA là hình thoi

Suy ra: MA vuông góc với BN tại P

Ta có: MD//BN

nên MQ//PN

Xét tứ giác AMCN có 

MC//AN

MC=AN

DO đó: AMCN là hình bình hành

Suy ra: AM//CN

=>PM//NQ

Xét tứ giác PMQN có 

PM//QN

PN//QM

Do đó: PMQN là hình bình hành

mà \(\widehat{MPN}=90^0\)

nên PMQN là hình chữ nhật

Câu 1:

a)

\(BM=MC=\frac{1}{2}BC\) (M là trung điểm của BC)

\(AN=ND=\frac{1}{2}AD\) (N là trung điểm của AD)

mà \(BC=AD\) (ABCD là hình bình hành)

\(\Rightarrow AN=ND=BM=MC\) (1)

mà ND // BM

=> BMDN là hình bình hành

=> BN // MD (2)

=> MDKB là hình thang

b)

MC = AN (theo 1)

mà MC // AN (ABCD là hình bình hành)

=> AMCN là hình bình hành

=> AM // CN (3)

Từ (2) và (3)

=> MPNQ là hình bình hành (4)

BM = AN (theo 1)

mà BM // AN (ABCD là hình bình hành)

=> ABMN là hình bình hành

mà AB = BM \(\left(=\frac{1}{2}BC\right)\)

=> ABMN là hình thoi

=> AM _I_ BN

=> MPN = 90⁰ (5)

Từ (4) và (5)

=> MPNQ là hình chữ nhật

c)

MPNQ là hình vuông

<=> MN là tia phân giác của PMQ

mà MN là đường trung tuyến của tam giác MDA vuông tại M (N là trung điểm của AD; MPNQ là hình chữ nhật)

=> Tam giác MDA vuông cân tại M có MN là đường trung tuyến

=> MN là đường cao của tam giác MDA

=> MNA = 90⁰

mà MNA = ABM (ABMN là hình thoi)

=> ABM = 90⁰

mà ABCD là hình bình hành

=> ABCD là hình chữ nhật

Câu 2:

a)

\(AE=EB=\frac{AB}{2}\) (E là trung điểm của của AB)

\(CF=FD=\frac{CD}{2}\) (F là trung điểm của của CD)

mà AB = CD (ABCD là hình bình hành)

=> AE = EB = CF = FD (1)

mà AE // CF (ABCD là hình bình hành)

=> AECF là hình bình hành

b)

AE = FD (theo 1)

mà AE // FD (ABCD là hình bình hành)

=> AEFD là hình bình hành

mà DA = AE \(\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)

=> AEFD là hình thoi

=> AF _I_ ED

=> EMF = 90⁰ (2)

EB = FD (theo 1)

mà EB // FD (ABCD là hình bình hành)

=> EBFD là hình bình hành

=> EM // NF

mà EN // MF (AECF là hình bình hành)

=> EMFN là hình bình hành

mà EMF = 90⁰ (theo 2)

=> EMFN là hình chữ nhật

c)

EMFN là hình vuông

<=> EF là tia phân giác của MEN

mà EF là đường trung tuyến của tam giác ECD vuông tại E (F là trung điểm của CD; EMFN là hình chữ nhật)

=> Tam giác ECD vuông cân tại E có EF là đường trung tuyến

=> EF là đường cao của tam giác ECD

=> EFD = 90⁰

mà EFD = DAE (AEFD là hình thoi)

=> DAE = 90⁰

mà ABCD là hình bình hành

=> ABCD là hình chữ nhật

Em tự vẽ hình nhé. Ý sau cô nói rõ yêu cầu hơn là chứng minh hình bình hành MNPQ có chu vi bằng tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Xét tứ giác EFMN có OF = ON; OE = OM nên nó là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy thì MN // EF // AC và MN = EF = AC / 2 (Vì EF là đường trung bình tam giác BAC).

Hoàn toàn tương tự: QP // GH // AC và QP = GH = AC/2.

Vậy MNPQ là hình bình hành (Cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Khi đó ta có:

 \(p_{MNPQ}=PQ+PN+NM+MQ=\left(PQ+MN\right)+\left(MQ+PN\right)=AC+BD.\)

Vậy ta đã chứng minh xong bài toán.

Cô ơi em ko hiểu.Theo em thì ta phải cm MN//=AC và PQ//=AC

a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang.( bạn tự vẽ hình nhé!)
- Đầu tiên CM tứ giác MBND là hình bình hành.
Vì ABCD là hình bình hành  AD = BC  AN = ND = BM = MC
Và  AD // BC=>  ND // BM
Xét tứ giác MBND, ta có:
ND // BM 
ND = BM
 Tứ giác MBND là hình bình hành. 
 NB // MD . Mà NB giao với MD = {K}=>  B, N , K thẳng hàng.
Xét tứ giác MBKD, ta có:
NB // MD
B, N , K thẳng hàng
=> MD // BK
 =>Tứ giác MBKD là hình thang ( đpcm ).

b)
Vì P thuộc BK, Q thuộc MD mà BK // MD  QM // PN ( 1 )
Vì P thuộc AM, Q thuộc NC  PM // QN (2)
Từ (1), (2)=>  PMQN là hình bình hành. ( 3 )
Theo CM ở câu a)  ANMB là hình thoi ( có 4 cạnh bằng nhau )
 AM vuông góc với BN. (4)
Từ (3), (4)  PMQN là hình chữ nhật.
c) Để PMQN là hình vuông thì hình bình hành phải có thêm điều kiện là góc A = 90^o
Nếu A = 90^o  thì tứ giác ANMB là hình vuông=>  AM vuông góc với BN
Theo tính chất đường chéo của hình vuông=>  PN = PM
 Hình chữ nhật PMQN có 2 cạnh kề bằng nhau nên nó sẽ là hình vuông ( đpcm )