Gọi UCLN (A;B) là : d

=> \(A⋮d\)

\(\Rightarrow\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}⋮d\)

\(\Rightarrow\frac{4}{n}\left(\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+2⋮d\)

\(\Rightarrow2n+2-2n-1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

vậy...............

gọi d \(d\inưc\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2},2n+1\right)\)thì \(n\left(n+1\right)⋮d\)và \(2n+1⋮d\)

\(\Rightarrow n\left(2n+1\right)-n\left(n+1\right)⋮d\)tức là \(n^2⋮d\)

từ \(n\left(n+1\right)⋮d\) và \(n^2⋮d\Rightarrow n⋮d\)ta lại có \(n2+1⋮d\), do đó\(1⋮d\)nên \(d=1\)

vậy ƯCLN CỦA\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)và\(2n+1=1\)

gọi d thuộc ƯC(n(n+1)/2 ; 2n+1) với d thuộc N*

=>n(n+1)/2 chia hết cho d hay n.(n+1) chia hết cho d và 2n+1 chia hết cho d

=>n(2n+1)-n(n+1) chia hết cho d

=>2n^2+n-n^2+n chia hết cho d  =>n^2+(n^2+n-n^2+n) chia hết cho d

                                                   =>n^2 chia hết cho d

TỪ n.(n+1)=n^2+n chia hết cho d và n^2 chia hết cho d  =>n chia hết cho d

Ta lại có 2n+1 chia hết cho d,mà n chia hết cho d=>  2n chia hết cho d  =>1 chia hết cho d  =>d=1

Gọi \(d=ƯCLN\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2};2n+1\right)\)

=> \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}⋮d\)

\(2n+1⋮d\)

=>\(n\left(n+1\right)⋮d\)

\(2n+1⋮d\)

=> \(n^2+n⋮d\)

\(2n+1⋮d\)

=>\(2.\left(n^2+n\right)⋮d\)

\(n.\left(2n+1\right)⋮d\)

=>\(2n^2+2n⋮d\)

\(2n^2+n⋮d\)

=>\(\left(2n^2+2n\right)-\left(2n^2+n\right)⋮d\)

=>\(n⋮d\)

=>\(2n⋮d\)

=> \(\left(2n+1\right)-2n⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> d=1

Vậy \(ƯCLN\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2};2n+1\right)=1\)

a) Sai đề, Phải là \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

b) Sai đề. Phải là theo nguyên lý Đi-rích-lê 

Gọi \(d\inƯC\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2};2n+1\right)\) (d \(\in\) N*) \(\Rightarrow\) \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)⋮ d hay n(n + 1) ⋮ d và 2n + 1 ⋮ d.

Suy ra n(2n + 1) - n(n + 1) = 2n² + n - n² + n = n² + (n² + n - n² + n) = n² ⋮ d.

Từ n(n + 1) = n² + n ⋮ d và n² ⋮ d \(\Rightarrow\) n ⋮ d.

Ta lại có 2n + 1 ⋮ d , mà n ⋮ d \(\Rightarrow\) 2n ⋮ d , do đó 1 ⋮ d.  \(\Rightarrow\) d = 1

                Vậy ƯCLN của \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và 2n + 1 là 1. 

Gọi  
d
∈
Ư
C
(
n
(
n
+
1
)
2
;
2
n
+
1
)
  (d 
∈
 N*) 
⇒
 
n
(
n
+
1
)
2
⋮ d hay n(n + 1) ⋮ d và 2n + 1 ⋮ d.

Suy ra n(2n + 1) - n(n + 1) = 2n2 + n - n2 + n = n2 + (n2 + n - n2 + n) = n2 ⋮ d.

Từ n(n + 1) = n2 + n ⋮ d và n2 ⋮ d 
⇒
 n ⋮ d.

Ta lại có 2n + 1 ⋮ d , mà n ⋮ d 
⇒
 2n ⋮ d , do đó 1 ⋮ d.  
⇒
 d = 1

                Vậy ƯCLN của 
n
(
n
+
1
)
2
 và 2n + 1 là 1. 

c) Gọi d là ƯCLN(n; n+2)

=> n chia hết cho d

=> n+2 chia hết cho d

<=> n+2 -n chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d=1 hoăc d=2

=> ƯCLN(n;n+2) là 2

Vậy...