Giải:

Tổng 702 số bằng 24 6753.

vì 246753 chia 2019 bằng 122 dư 435 n lớn nhất là 122.

2019=702+701+616 => n nhỏ nhất là 3.

Do tổng của n số gấp đôi tổng của các số còn lại nên tổng đó bằng 2/3 tổng các số từ 1 đến 2015.

Ta tính tổng đó: \(S=\frac{2}{3}\left(\frac{\left(2015+1\right).2015}{2}\right)=1354080.\)

Gọi n số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(1\le a_1< a_2< ...< a_n\le2015.\)

Ta thấy \(a_1\ge1;a_2\ge a_1+1=2;...;a_n\ge n.\)

Vậy thì để tồn tại nhiều số nhất thì ta chọn : \(a_1=1;a_2=2;...;a_{n-1}=n-1;a_n\)

Tính tổng (n -1) số đầu tiên: \(S_{n-1}=\frac{\left(n-1+1\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\le1354080\)

Ta chọn n max thỏa mãn điều kiện bên trên. Vậy n = 1645.

Vậy n max là 1645 với dãy số:

\(\hept{\begin{cases}a_1=1;a_2=2;...;a_{1644}=1644\\a_{1645}=1354080-\frac{1645.1644}{2}=1890\end{cases}}\) 

Tương tự: \(a_n\le2015;a_{n-1}\le a_n-1=2014;...\)

Để chọn được n min thì \(\hept{\begin{cases}a_n=2015;a_{n-1}=2014;...;a_2=2015-n+2.\\a_1\end{cases}}\)

Tổng n - 1 số là : \(S_{n-1}=\frac{\left(2015+2015-n+2\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{\left(4032-n\right)\left(n-1\right)}{2}< 1354080\)

Vậy n min = 852. 

Khi đó \(\hept{\begin{cases}a_2=1165;a_3=1166;...;a_{852}=2015\\a_1=1354080-\frac{851.3180}{2}=990\end{cases}}\)

Vậy n max = 1645 và n min = 852.

Điểm mấu chốt là nhận ra \(\hept{\begin{cases}1\le a_1;2\le a_2;...\\2015\ge a_n;2014\ge a_{n-1};...\end{cases}}\)

Để chọn5 n số sao cho tổng của 2 số phân biệt bất kì đều chia hết cho 6 thì tất cả số đã chọn phải chia hết cho 6

Số nhỏ nhất trong khoảng từ 1 đến 200 chia hết cho 6 là: 6

Số lớn nhất trong khoảng từ 1 đến 200 chia hết cho 6 là: 198

Số số tự nhiên từ 1 đến 200 chia hết cho 6 là:

(198 - 6) / 6 + 1 = 33 (số) => n = 33

Vậy..

Tổng của 2015 số tự nhiên từ 1 đến 2015 là:

 (1+2015) x 2015 : 2 = 2031120

Tổng của n số cần chọn theo yêu cầu bài toán là:

2031120 : 3 = 677040

 +Với  n nhỏ nhất khi ta chon n số lớn nhất có thể để tổng bằng 677040

Ta  dãy số liên tiếp từ: 2015, 2014 , 2013,… m  sao cho tổng các số đó lớn nhất có thể nhưng không quá 677040

Dãy 2015, 2014, 2013,…,m có số số hạng là: (2015 - m) : 1 + 1 =  2016 – m(số hạng)

Dãy 2015, 2014, 2013,… ,m có tổng là: (2015 + m) x (2016 - m): 2 sao cho lớn nhất có thể nhưng không quá 677040.

Suy ra:  ( m - 1) x  m  lớn hơn hoặc bằng 2708160

Ta tìm được m nhỏ nhất = 1647

Ta thấy dãy  2015, 2014, 2013,…,1647 có:

 (2015-1647) :1+ 1 = 369 (số hạng) và tổng là:

(2015+1647) x ( 369 : 2) = 675639

Mà 677040 = 675639 + 1401

Vậy n nhỏ nhất là : 369+1 = 370

 + Với n lớn nhất: Ta chọn các số liên tiếp từ : 1,2,3,…, b sao cho tổng các số đó lớn nhất có thể nhưng không quá 677040

Dãy 1,2,3,4,…,b có b số hạng và có tổng là: b x (b+1) : 2 nhỏ hơn hoặc bằng 677040

Ta tìm được b lớn nhất =1163

 Xét  dãy số từ 1 đến 1163 là có tổng là:

1163 x 1164 : 2 = 676866

Tổng trên còn nhỏ hơn tổng của n là:

677040 – 676866 =174

Vậy nếu lấy 1164 – 174 = 990

Tổng n có nhiều chữ số nhất sẽ là :

1+2+3+….1164 – 990 = 677404

Vậy tổng n lớn nhất có số các số hạng là:

1164-1 = 1163 (Số hạng)

Đáp số: Số n nhỏ nhất: 370

              Số n lớn nhất: 1163

Đáp số của bạn top scorer sai vì bạn nhầm ngay từ đầu. Tôi thắc mắc tại sao học sinh lớp 5 lại phải làm bài toán này. Bài này có lẽ chỉ hợp với các học sinh ít nhất là lớp 8. Muốn cho thành lớp 5 thì số 2015 phải nhỏ thôi. 

Vì tổng của n số được chọn bằng 2 lần tổng các số còn lại nên tổng n số được chọn bằng 2/3 tổng tất cả các số từ 1 đến 2015, do đó tổng n số được chọn luôn bằng \(\frac{2}{3}\cdot\left(1+2+\cdots+2015\right)=\frac{2015\cdot2016}{3}=:m\).  (Đặt số đó là m). 

Giả sử các số được chọn là \(1\le x_1