Bài toán :
Cho x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2\(\le\)3
Tìm giá trị nhỏ nhất :
P = \(\frac{1}{1+x.y}+\frac{1}{1+y.z}+\frac{1}{1+z.x}\)
Giúp em với ak, em tặng 3 tick...
Cho x,y,z khác 0 và x2 = y.z ; y2 = z.x ; z2 = x.y .
Chứng minh rằng : x=y=z
Mọi người giúp em với ạ , em đang cần rất gấp ạ . Thanks nhiều ạ !
Theo đề bài ta có:
;
cân bằng phương trình bằng cách nhân x vào cả hai vế ta có:
cân bằng phương trình bằng cách nhân y vào cả hai vế ta có:
cân bằng phương trình bằng cách nhân z vào cả hai vế ta có:
vì
Vì Có cùng số mũ và bằng nhau
Nên các cơ số cũng bằng nhau
Ta có: \(x^2=y\cdot z\)
nên \(z=\dfrac{x^2}{y}\)(1)
Ta có: \(y^2=z\cdot x\)
nên \(z=\dfrac{y^2}{x}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{y^2}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^3=y^3\)
hay x=y(3)
Ta có: \(x^2=y\cdot z\)
nên \(y=\dfrac{x^2}{z}\)(4)
Ta có: \(z^2=x\cdot y\)
nên \(y=\dfrac{z^2}{x}\)(5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{x^2}{z}=\dfrac{z^2}{x}\)
\(\Leftrightarrow x^3=z^3\)
hay x=z(6)
Từ (3) và (6) suy ra x=y=z(đpcm)
\(x^2=yz\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{z}{x}\\ y^2=zx\Rightarrow\dfrac{y}{z}=\dfrac{x}{y}\\ z^2=xy\Rightarrow\dfrac{z}{x}=\dfrac{y}{z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}=1\\ \Rightarrow x=y=z\)
tìm x,y, z biết:
a) \(x+y=\frac{1}{2},y+z=\frac{1}{3},z+x=\frac{1}{4}\)
b)\(x.y=-\frac{1}{2},y.z=\frac{1}{2},z.x=-\frac{1}{4}\)
a) Cộng cả 3 đẳng thức trên ta có:
2(x + y + z) = 1/2 +1/3 + 1/4 = 13/12 => x + y + z = 13/24 (*)
z = 13/24 - 1/2 = 1/24
x = 13/24 - 1/3 = 5/24
y = 13/24 - 1/4 = 7/24.
b) Nhân cả 3 đẳng thức ta có: x2y2z2 = 1/16 => xyz = 1/4 hoặc -1/4
Nếu xyz = 1/4 thì: z = -1/2; x = 1/2; y = -1Nếu xyz = -1/4 thì: z = 1/2; x = -1/2; y = 1a) Cho 3 số x,y,z biết x.y.z=1. Tính tổng: \(\frac{5}{x+x.y+1}+\frac{5}{y+y.z+1}+\frac{5}{z+z.x+1}\)
b) Cho 3 số x,y,z biết x.y.z=1992. Chứng minh: \(\frac{1992.x}{x.y+1992.x}\)+\(\frac{y}{y.z+y+1992}\)+\(\frac{z}{x.z+z+1}\)=1
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=1. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức?
P=\(\frac{1}{\left(x2+y2+z2\right)}+\frac{1}{xyz}\)
cho x,y.z>0 thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2+z^2>=3\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\)
giúp mình với mình đang cần gấp
Cho x,y,z là ba số khác 0 thỏa mãn \(\frac{x.y}{x+y}+\frac{y.z}{y+z}+\frac{z.x}{z+x}\) ( với giả thiết các tỉ số có nghĩa). Tính giá trị biểu thức:
\(M=\frac{2020.x^2.y+2020.y^2.z+2020.z^2.x}{x^3+y^3+z^3}+\frac{2021.x^4.y+2021.y^4.z}{x^5+y^5}\)
giúp mình với mình đang cần gấp Pleaseeee :(
Ta có:
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}\rightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{y+z}{yz}=\frac{z+x}{zx}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Rightarrow x=y=z\)
Thay tất cả giá trị x,y,z vào M ta được:
\(M=\frac{2020x^3+2020y^3+2020z^3}{x^3+y^3+z^3}+\frac{2021x^5+2021y^5}{x^5+y^5}\)
\(\Rightarrow M=\frac{2020\left(x^3+y^3+z^3\right)}{x^3+y^3+z^3}+\frac{2021\left(x^5+y^5\right)}{x^5+y^5}\)
\(\Rightarrow M=2020+2021=4041\)
Tìm các số hữu tỉ x, y ,z biết :
x.y = \(\frac{1}{3}\); y.z = \(\frac{-2}{5}\); z.x = \(\frac{-3}{10}\)
Ai làm đúng và nhanh nhất thì mình sẽ tick.
Ta có :
\(xy.yz.zx=\frac{1}{3}.\frac{-2}{5}.\frac{-3}{10}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2y^2z^2=\frac{3}{75}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2y^2z^2=\frac{9}{225}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(xyz\right)^2=\left(\frac{3}{15}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}xyz=\frac{3}{15}\\xyz=\frac{-3}{15}\end{cases}}\)
* Nếu \(xyz=\frac{3}{15}\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=\frac{xyz}{yz}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{-2}{5}}=\frac{3}{5}.\frac{-5}{2}=\frac{-3}{2}\\y=\frac{xyz}{zx}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{-3}{10}}=\frac{3}{5}.\frac{-10}{3}=-2\\z=\frac{xyz}{xy}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}.3=\frac{9}{5}\end{cases}}\)
Vậy \(x=\frac{-3}{2}\)\(;\)\(y=-2\) và \(z=\frac{9}{5}\)
Chúc bạn học tốt ~
Bạn êi tại olm bị lỗi chỗ \(\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\) nên mình trình bày lại nhá bạn
\(x=\frac{xyz}{yz}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{-2}{5}}=\frac{3}{5}.\frac{-5}{2}=\frac{-3}{2}\)
\(y=\frac{xyz}{zx}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{-3}{10}}=\frac{3}{5}.\frac{-10}{3}=-2\)
\(z=\frac{xyz}{xy}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}.3=\frac{9}{5}\)
Vậy ...
Chúc bạn học tốt ~
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : a+b+c=1 ; a2+b2+c2 =1 và \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\). CMR: x.y+y.z+z.x = 0
(a+b+c)^2=1= a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
=> ab+bc+ac=0 (1)
x/a=y/b=z/c =>x=y.a/b , z=y.c/b (2)
Đặt A = x.y+y.z+z. thay x và z của (2) vào ta có
A =(y.a/b).y + y.(y.c/b) +(y.a/b).(y.c/b)
=y^2 (a/b+c/b +ac/b^2)
=y^2(ab+bc+ac)/b^2
Kết hợp (1) ta có A=0 đpcm
Ta có: a + b + c = 1
=>\(\left(a+b+c\right)^2=1\)
=>\(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=1\)
=> ab + bc + ca = 0(Do a^2 + b^2 + c^2 = 1)
Ta có
\(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)(Do a + b + c = 1)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=a\left(x+y+z\right)\\y=b\left(x+y+z\right)\\z=c\left(x+y+z\right)\end{cases}}\)
Đặt x + y + z = k
=> \(\hept{\begin{cases}x=ak\\y=bk\\z=ck\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy=abk^2\\yz=bck^2\\xz=ack^2\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+xz=k^2\left(ab+bc+ca\right)\)
mà ab + bc + ca = 0
=>xy + yz + xz = k^2.0 = 0(ĐPCM)
cho \(0\le x,y,z\le1.\)Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P=\left(1+xyz\right)\left(\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}\right)\)