Gọi ƯCLN(2n+1;3n+2)=d

Ta có: 2n+1 chia hết cho d

=>3(2n+1) chia hết cho d

6n+3 chia hết cho d

có 3n+2 chia hết cho d

=>2(3n+2) chia hết cho d

6n+4 chia hết cho d

=>6n+4-(6n+3) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d hay d=1 nên ƯCLN(2n+1;3n+2)=1

Do đó, 2n+1 và 3n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau(ko có chung ước)

mà x=(2n+1)(3n+2) nên x có ước là: 1; 2n+1; 3n+2; x

ta có: x=(2n+1)(3n+2) nên 1*(2n+1)*(3n+2)*x=x*x=x²

Vậy tích tất cả các ước của x là số chính phương

mình không biết nhưng mà minh có thể làm được

10 ≤ n ≤ 99 ↔ 21 ≤ 2n+1 ≤ 201

2n+1 là số chính phương lẻ nên

2n+1∈ {25;49;81;121;169}

↔ n ∈{12;24;40;60;84}

↔ 3n+1∈{37;73;121;181;253}

↔ n=40

 Vậy n=40

Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 chia 8 dư 1,vậy n là số chẵn.
Vì 3n+1 là số chính phương lẻ nên 3n+1 chia 8 dư 1
3n⋮8
n⋮8              (1)
Do 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương lẻ có tận cùng là 1;5;9.do đó khi chia cho 5 thì có số dư là 1;0;4
Mà (2n+1)+(3n+1)=5n+2 ,do đo 2n+1 và 3n+1 khi cho cho 5 đều dư 1
n⋮5                (2)
Từ (1) và (2)n⋮40
Vậy n=40k thì ... 

a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để:

2a + 1 = n^2 ﴾1﴿

3a +1 = m^2 ﴾2﴿

từ ﴾1﴿ => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được:

2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k﴾k+1﴿ + 1

=> a = 2k﴾k+1﴿

vậy a chẵn .

a chẳn => ﴾3a +1﴿ là số lẻ và từ ﴾2﴿ => m lẻ, đặt m = 2p + 1

﴾1﴿ + ﴾2﴿ được:

5a + 2 = 4k﴾k+1﴿ + 1 4p﴾p+1﴿ + 1

=> 5a = 4k﴾k+1﴿ + 4p﴾p+1﴿

mà 4k﴾k+1﴿ và 4p﴾p+1﴿ đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8

ta cần chứng minh a chia hết cho 5:

chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9

xét các trường hợp:
 a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 ﴾vô lý﴿

a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 ﴾vô lý﴿ ﴾vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7﴿

a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 ﴾vô lý﴿

a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 ﴾vô lý﴿

=> a chia hết cho 5 5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40

hay : a là bội số của 40

a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để:

2a + 1 = n^2 ﴾1﴿

3a +1 = m^2 ﴾2﴿

từ ﴾1﴿ => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được:

2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k﴾k+1﴿ + 1

=> a = 2k﴾k+1﴿

vậy a chẵn .

a chẳn => ﴾3a +1﴿ là số lẻ và từ ﴾2﴿ => m lẻ, đặt m = 2p + 1

﴾1﴿ + ﴾2﴿ được:

5a + 2 = 4k﴾k+1﴿ + 1 4p﴾p+1﴿ + 1

=> 5a = 4k﴾k+1﴿ + 4p﴾p+1﴿

mà 4k﴾k+1﴿ và 4p﴾p+1﴿ đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8

ta cần chứng minh a chia hết cho 5:

chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9

xét các trường hợp:
 a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 ﴾vô lý﴿

a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 ﴾vô lý﴿ ﴾vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7﴿

a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 ﴾vô lý﴿

a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 ﴾vô lý﴿

=> a chia hết cho 5 5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40

hay : a là bội số của 40

a)Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(n^2+2002\)là số chình phương.

\(\Rightarrow n^2+2002=a^2\left(a\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow a^2-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a^2+an-an-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a\left(a+n\right)-n\left(a+n\right)=2002\)

\(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2002\)

Mà \(2002⋮2\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=-2n\)

\(\Rightarrow\)\(a-n\)và \(a+n\)có cùng tính chẵn lẻ \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}}\)

Vì 2 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)

mà 2002 không chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn

\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai

\(\Rightarrow\)Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài