Ta có \(P=\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}+\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}\)

\(=\frac{\frac{\left(yz+1\right)^2}{z^2}}{\frac{zx+1}{x}}+\frac{\frac{\left(zx+1\right)^2}{x^2}}{\frac{xy+1}{y}}+\frac{\frac{\left(xy+1\right)^2}{y^2}}{\frac{yz+1}{z}}\)

\(=\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\frac{a_3^2}{b_3}\ge\frac{\left(a_1+a_2+a_3\right)^2}{b_1+b_2+b_3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{c_3}\)

\(P=\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}\)

\(P\ge a+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Áp dụng BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

=> \(P\ge x+y+z+\frac{9}{x+y+z}=\left[x+y+z+\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\right]+\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}\)

Ta có: \(x+y+z+\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\ge2\sqrt{\frac{9}{4}}=3;\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{27}{4\cdot\frac{3}{2}}=\frac{9}{2}\)

=> \(P\ge3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}\).

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=\(\frac{1}{2}\)

Vậy Min_P=\(\frac{15}{2}\)đạt được khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)

Ta có:

\(P=\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}+\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}\)

\(=\frac{\left(\frac{yz+1}{z}\right)^2}{\left(\frac{zx+1}{x}\right)}+\frac{\left(\frac{zx+1}{x}\right)^2}{\left(\frac{xy+1}{y}\right)}+\frac{\left(\frac{xy+1}{y}\right)^2}{\left(\frac{yz+1}{z}\right)}\)

\(=\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta có:

\(\frac{\left(y+\frac{1}{z}\right)^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{\left(z+\frac{1}{x}\right)^2}{x+\frac{1}{y}}+\frac{\left(x+\frac{1}{y}\right)^2}{y+\frac{1}{z}}\)\(\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\ge\left(x+y+z\right)+\frac{9}{x+y+z}=\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(+\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right).\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

Một cách giải khác ( cách này em làm rùi giờ làm lại ạ ) cô Chi check em ạ :)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P=\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}+\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM ta có:

\(y+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\ge5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\)

Tương tự \(z+\frac{1}{y}\ge5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}};x+\frac{1}{z}\ge5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}\)

Sử dụng liên hoàn BĐT AM-GM ta có tiếp

\(P\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)

\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)

\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)

\(=15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}\)

\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)

\(\ge15\sqrt[15]{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}=\frac{15}{2}\)

Dấu "='" xảy ra tại x=y=z=¹/₂

\(A=\frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2+2xy+x^2}-\frac{x^3+y^3}{x^4-y^4}\right)\left(x\ne\pm y;y\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4xy}{\left(y^2-x^2\right)\left(y^2+x^2\right)}:\left(\frac{1}{\left(y+x\right)^2}-\frac{x^3+y^3}{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\right)\)

\(a)\)\(x+xy+y=-6\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)

Lập bảng xét TH ra là xong 

\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,- 

\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel ) 

Ta có : 

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)

Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :)) 

Chúc bạn học tốt ~ 

\(c)\)\(x^2+y^2+z^2< xy+3y+2z-3\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3< 0\)

Mà x, y, z nguyên nên \(x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3\le-1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-xy+\frac{y^2}{4}\right)+3\left(\frac{y^2}{4}-y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\le-1+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+3\left(\frac{y}{2}-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\le0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{y}{2}\right)^2=0\\3\left(\frac{y}{2}-1\right)^2=0\\\left(z-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{y}{2}=\frac{2}{2}=1\\y=2\\z=2\end{cases}}}\)

Vậy \(x=;y=2;z=2\)

Chúc bạn học tốt ~ 

A

Áp dụng BĐT cosi ta có 

\(\sqrt{\left(2x-1\right).1}\le\frac{2x-1+1}{2}=x\)

\(x\sqrt{5-4x^2}\le\frac{x^2+5-4x^2}{2}=\frac{-3x^2+5}{2}\)

Khi đó 

\(A\le3x+\frac{-3x^2+5}{2}=\frac{-3x^2+6x+5}{2}=\frac{-3\left(x-1\right)^2}{2}+4\le4\)

MaxA=4 khi \(\hept{\begin{cases}2x-1=1\\x^2=5-4x^2\\x=1\end{cases}\Rightarrow}x=1\)

B

Áp dụng BĐT cosi ta có :

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)

=> \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

=> \(B\le\frac{xyz.\left(\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{xyz.\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(xy+yz+xz\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

Lại có \(x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\); \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

=> \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\sqrt{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}=3\sqrt{3}.xyz\)

=> \(B\le\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)

\(MaxB=\frac{3+\sqrt{3}}{9}\)khi x=y=z

34, Quảng Ninh

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn x + y + z < 1

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

Ta có bđt sau : \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\left(a;b>0\right)\)

Áp dụng ta được \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

                                \(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{xy+yz+zx}\)

                                \(\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

                               \(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6051}{\left(x+y+z\right)^2}\)

                                \(=\frac{6060}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6060}{1}=6060\)

Dấu "=" tại x = y = z = 1/3

39, Chuyên Hưng Yên

Với x;y là các số thực thỏa mãn \(\left(x+2\right)\left(y-1\right)=\frac{9}{4}\)

Tìm \(A_{min}=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

Ta có \(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

              \(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)

Đặt  \(\hept{\begin{cases}x+1=a\\y-2=b\end{cases}}\)

Thì \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\)và giả thiết đã cho trở thành \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{2}\)

Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\)(1)

Thật vậy

 \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}+z^2+t^2\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)

         \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2}\ge xz+yt\)

*Nếu xz + yt < 0 thì bđt luôn đúng

*Nếu xz + yt > 0 thì bđt tương đương với

\(x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+2xyzt+y^2t^2\)

 \(\Leftrightarrow x^2t^2-2xyzt+y^2z^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xt-yz\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy bđt (1) được chứng minh

Áp dụng (1) ta được \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)

                                                                                              \(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\)

Ta có \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b+1=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b=\frac{5}{4}\)

Áp dụng bđt Cô-si có \(a^2+b^2\ge2ab\)

                                   \(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a\)

                                  \(2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)

Cộng 3 vế vào được

\(3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(ab+a+b\right)=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Khi đó \(A\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{3}\)

Dấu ''=" tại \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x+1=\frac{1}{2}\\y-2=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

38, Hưng Yên

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3xyz\)

Tìm \(P_{max}=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)(Chỗ này phân số thứ 2 đề ở tử là y² không phải y⁴ cô nhé )

                         Giải

Áp dụng bđt Cô-si có

\(x^4+yz\ge2x^2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)

Áp dụng bđt Cô-si \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)

                    \(\Rightarrow\frac{1}{2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{1}{2\sqrt{yz}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự \(\frac{y^2}{y^4+zx}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\) 

                 \(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Khi đó \(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

                                                                                                       \(=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)

                                                                                                       \(\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\)

                                                                                                        \(=\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" tại x = y = z =1

đây đâu phải toán lớp 1

cũng ko phải bài toán lớp 2

cái này toán lớp 5 r

\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^3+3y+1+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right)+\left(x+y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y+2=0\)

(phần trong ngoặc \(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\frac{\left(y+1\right)^2}{4}+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\)

\(=\left(x+1-\frac{y+1}{4}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\) luôn dương)

\(\Rightarrow x+y=-2\)

Mà \(xy>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x>0\\-y>0\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\ge\frac{4}{-\left(x+y\right)}=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le-2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)

2/ \(x;y;z\ne0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{xz+yz+z^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xy+yz+xz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\) dù trường hợp nào thì thay vào ta đều có \(B=0\)

3/ \(\Leftrightarrow mx-2x+my-y-1=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(2x+y+1\right)=0\)

Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà d đi qua

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

Vậy d luôn đi qua \(A\left(-1;1\right)\) với mọi m

câu 1 bình phg chuyển vế cậu sẽ thấy điều kì diệu

câu 2 adbđt \(8\sqrt[4]{4x+4}=4\sqrt[4]{4.4.4\left(x+1\right)}\le x+13\)