a: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm của AD

M là trung điểm của BC

Do đó: ABDC là hình bình hành

Suy ra: AB//CD và AB=CD

Xét ΔAMF và ΔDME có 

\(\widehat{FAM}=\widehat{EDM}\)

MA=MD

\(\widehat{AMF}=\widehat{DME}\)

Do đó: ΔAMF=ΔDME

Suy ra: AF=DE
=>AF=1/2AB

hay F là trung điểm của AB

b: Xét tứ giác AFEC có

AF//EC

AF=EC

Do đó: AFEC là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AE và FC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

hay K là trung điểm của FC

a: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét tứ giác ABEC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AE

Do đó: ABEC là hình bình hành

Suy ra: AB//EC và AB=EC

c: Xét ΔBCD có 

CA là đường cao

CA là đường trung tuyến

Do đó: ΔBCD cân tại C

d: Xét ΔOBC có

OM là đường cao

OM là đường trung tuyến

Do đó: ΔOBC cân tại O

Suy ra: OB=OC(1)

Xét ΔOBD có
OA là đường cao

OA là đường trung tuyến

Do đó: ΔOBD cân tại O

Suy ra: OB=OD(2)

Từ (1) và (2) suy ra OB=OC=OD

hay O cách đều ba đỉnh của ΔBDC

a: Xét ΔAMB và ΔDMC có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔAMB=ΔDMC

b: ta có; ΔAMB=ΔDMC

=>AB=DC

Ta có: ΔAMB=ΔDMC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

c: Xét ΔNAB và ΔNCE có

NA=NC

\(\widehat{ANB}=\widehat{CNE}\)(hai góc đối đỉnh)

NB=NE

Do đó: ΔNAB=ΔNCE

=>AB=CE 

Ta có: ΔNAB=ΔNCE

=>\(\widehat{NAB}=\widehat{NCE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CE

Ta có: AB//CE

AB//CD

CE,CD có điểm chung là C

Do đó: E,C,D thẳng hàng

Ta có: EC=AB

CD=AB

Do đó: EC=CD
mà E,C,D thẳng hàng

nên C là trung điểm của ED

a) Xét t/giác ABM và t/giác ECM

có:  AM = ME (gt)

   BM = MC (gt)

 \(\widehat{M1}=\widehat{M2}\)(đối đỉnh)

=> t/giác ABM = t/giác ECM (c.g.c)

=> \(\widehat{B1}=\widehat{C1}\)(2 góc t/ứng)

mà \(\widehat{B1}=90^0\) => \(\widehat{C1}=90^0\)hay góc ECB = 90⁰

b) Xét t/giác AMC và t/giác EMB

có: AM = ME (gt)

  BM = MC (gt)

\(\widehat{AMC}=\widehat{BME}\)(đối đỉnh)

=> t/giác AMC = t/giác EMB (c.g.c)

=> \(\widehat{C2}=\widehat{B2}\)(2 góc t/ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> EB // AC

c) Xét t/giác PMC và t/giác QMB

có: \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\)(cmt)

 BQ = CP (gt)

 AM = MC (gt)

=> t/giác PMC = t/giác QMB (c.g.c)

=> \(\widehat{M3}=\widehat{M4}\)(2 góc t/ứng)

Do B, M, C thẳng hàng => \(\widehat{M1}+\widehat{AMP}+\widehat{M4}=180^0\)

 <=> \(\widehat{M1}+\widehat{AMP}+\widehat{M3}=180^0\) =>  P, M, Q thẳng hàng