Bài 4:

$A+2=1+2+2^2+2^3+...+2^{11}$

$=(1+2)+(2^2+2^3)+....+(2^{10}+2^{11})$

$=(1+2)+2^2(1+2)+....+2^{10}(1+2)$

$=(1+2)(1+2^2+....+2^{10})$

$=3(1+2^2+...+2^{10})\vdots 3$

Vậy $A+2\vdots 3$ nên $A$ không chia hết cho $3$

Bài 5:

$n^2+n+1=n(n+1)+1$
Vì $n,n+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại một số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)$ chẵn 

$\Rightarrow n^2+n+1=n(n+1)+1$ lẻ (điều phải chứng minh) 

áp dụng tc \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+m}{a+m}< 1\left(m\in N\right)\)

Ta có: \(A=\frac{5^{2010}+1}{5^{2011}+1}< \frac{5^{2010}+1+4}{5^{2011}+1+4}\)\(=\frac{5^{2010}+5}{5^{2011}+5}=\frac{5.\left(5^{2009}+1\right)}{5.\left(5^{2010}+1\right)}=\frac{5^{2009}+1}{5^{2010}+1}\)

\(\Rightarrow A< B\)

#)Giải : 

Đầu tiên ta so sánh : 

5²⁰¹⁰ và 5²⁰⁰⁹ 

Vì 2010 > 2009 => 5²⁰¹⁰ > 5²⁰⁰⁹    (1)

Tiếp theo :

1/5^{2011 + 1} và 1/5^{2010 + 1}

Vì 2011 + 1 = 2012 và 2010 + 1 = 2011 

Mà 2012 > 2011 => 1/5^{2011 + 1} > 1/5^{2010 + 1}   (2)

Từ (1) và (2) => 5²⁰¹⁰ + 1/5²⁰¹¹⁺¹ > 5²⁰⁰⁹+1/5²⁰¹⁰⁺¹ => A > B

Vậy : A > B

#)Nếu đúng thì bn bảo mk nha :D

      #~Will~be~Pens~#

Hoàng Nguyên Hiếu sai rồi 

Ta dùng phương pháp triệt tiêu sẽ được kết quả cuối cùng là : 
1 - \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{14}{15}\)

\(A=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{13.15}\)

\(A=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}\)

\(A=1-\frac{1}{15}\)

\(A=\frac{14}{15}\)

thank's các bạn nha

Với a,b >0.Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\left(đpcm\right)\) 

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b

chọn C 

mình giải rồi không thấy ý kiến gì?

1. Nhận xét rằng a là số tự nhiên lẻ và ab + 4 là một số chẵn.
Nếu d là một ước chung của a và ab + 4 ( d > 1), thì do a lẻ nên d phải là số lẻ.
Do ab chia hết cho d nên 4 chia hết cho d, suy ra d  \(\in\) { 2; 4 }.  (mâu thuẫn)..
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của n + 2 và 3n + 11.
Suy ra \(\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\3n+11⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+6⋮d\\3n+11⋮d\end{cases}}}\).
Suy ra \(3n+11-\left(3n+6\right)=5⋮d\). 
Vì vậy d  = 1 hoặc d = 5.
Để n + 2 và 3n + 11 là hai số nguyên tố cùng nhau thì d = 1.
Nếu giả sử ngược lại \(\hept{\begin{cases}n+2⋮5\\3n+11⋮5\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow n+2⋮5\).
Suy ra \(n\) chia 5 dư 3 hay n = 5k + 3.
Vậy để n + 2 và 3n + 11 là hai số nguyên tố cùng nhau, thì n chia cho 5 dư 0, 1, 2, 4 hay n = 5k, n = 5k +1, n = 5k + 2, n = 5k + 4.

 

Số các số hạng của S là: \(\frac{\left(2n-1-1\right)}{2}+1=n-1+1=n\).
S = 1 + 3 + 5 + ........ (2n - 1)
\(=\frac{\left(2n-1+1\right).n}{2}=n.n=n^2\).
Suy ra S là một số chính phương.

\(=>2A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{2187}\)

\(=>6A=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{729}\)

\(=>6A-2A=3-\frac{1}{2187}\)

\(4A=3-\frac{1}{2187}=>A=\frac{3}{4}-\frac{1}{8724}\)