Cho a.b.c = 1
và \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\)
Chứng minh rằng: Trong 3 số a,b,c tồn tại một số bằng 1
Bài 1: Cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\)
Chứng minh rằng: Với 3 số a,b,c có tồn tại 2 số bằng nhau.
a/b+b/c+c/a=b/a+c/b+a/c
<=> a/b-b/a+b/c-c/b+c/a-a/c=0
<=> a^2c-c^2a+c^2b-b^2c+b^2a-a^2b=0
<=> ac(a-c)+bc(c-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a+a-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a)+bc(a-b)+ab(b-a)=0
<=> (a-c)(a-b)c+(a-b)(c-a)b=0
<=> (a-b)(c-a)(b-c)=0
<=> a=b hay c=a hay b=c
Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số =nhau
cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn abc=1 và
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{b^3}{a}+\frac{c^3}{b}+\frac{a^3}{c}\)
Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c luôn tồn tại một số là lập phương của 2 số còn lại
Cho a, b, c là số ba số dương thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
Đặt vế trái là P
Ta có: \(P=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(\frac{a^2c}{abc}+\frac{b^2a}{abc}+\frac{c^2a}{abc}=\frac{b^2c}{abc}+\frac{c^2a}{abc}+\frac{a^2b}{abc}\)
\(=>a^2c+b^2a+c^2a=b^2c+c^2a+a^2b\)
Vì \(c^2a=c^2a\)=> \(a^2c+b^2a=b^2c+a^2b\)
=>đpcm, hình như mình giải thiếu điều kiện thì phải
ừ nhỉ, chỗ phần quy đồng
\(\frac{a^2c}{abc}+\frac{b^2a}{abc}+\frac{c^2b}{abc}=\frac{b^2c}{abc}+\frac{c^2a}{abc}+\frac{a^2b}{abc}\)
\(a^2c+b^2a+c^2b=b^2c+c^2a+a^2b\)
đến chỗ này tịt , bài nãy còn rút gọn được chứ phần này thì không
thôi, bạn suy nghĩ tiếp chỗ này nhé
cho a+b+c=0 và \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)=1 chứng minh tồn tại trong ba số a,b,c bằng 1
xin lỗi, viết nhầm, a+b+c=1 chứ ko phải bằng 0 nha
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=1\Rightarrow ab+bc+ca=abc\)\
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(=ab+bc+ca-abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Từ đây ta suy ra đpcm.
Giúp mình với a ~
Cho ba số a,b,c thỏa mãn a.b.c =1
Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a.b+a+1}+\frac{1}{b.c+b+1}+\frac{1}{a.b.c+b.c+b}=1\)
Camon <3
Cho a' , b , b' , c là 4 số khác 0 và \(\frac{a}{a'}+\frac{b'}{b}=1và\frac{b}{b'}+\frac{c'}{c}=1.\)Chứng minh rằng abc + a'b'c' = 0
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a'}+\frac{b'}{b}=1\Rightarrow ab+a'b'=a'b\Rightarrow abc+a'b'c=a'bc\left(1\right)\\\frac{b}{b'}=\frac{c'}{c}\Rightarrow bc+b'c'=b'c\Rightarrow a'bc+a'b'c'=a'b'c\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
1) Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
Tính giá trị của biểu thức P = \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
2) Cho biết (x-1).f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất bốn nghiệm.
3) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: \(x-3y+2xy=4\)
4) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương.
5) Cho 2016 số nguyên dương a1, a2, a3, ............., a2016 thỏa mãn:
\(\frac{1}{^a1}+\frac{1}{^a2}+\frac{1}{^a3}+...+\frac{1}{^a2016}=300\)
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong 2016 số đã cho bằng nhau.
Áp dụng ta đc:
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5a+5b+5c}{a+b+c}=5\left(\text{vì: a,b,c khác 0}\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=6\)
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
Xét \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Thay vào P ta được P=6
Xét \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)
Thay vào P ta được P= -3
Vậy P có 2 gtri là ...........
Với x=4
\(\Rightarrow-5.f\left(-4\right)=0.f\left(4\right)\)
\(\Rightarrow f\left(-4\right)=0\)
Vậy x=4 là nghiệm của đt
Với x=1
\(\Rightarrow0.f\left(0\right)=4.f\left(9\right)\)
\(f\left(9\right)=0\)
Vậy x=9 là nghiệm của đt
Mình nghĩ m chỉ tìm được 2 nghiệm thôi bạn :V
Giải hộ mình mấy bài này với:
1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.