\(1\)\(0\)

Nhân chéo 2 vế ta được:

\(y^2=\frac{\left(5-3x\right)^2}{1-x^2}\)\(\Rightarrow-x^2y^2+y^2=25-30x+9x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2.\left(9+y^2\right)-30x+25-y^2=0\)(1)

\(\Delta'=15^2-\left(25-y^2\right)\left(9+y^2\right)\Leftrightarrow\Delta=y^4-16y^2\)

Để ý có GTNN thì phương trình (1) phải có nghiệm

\(\Rightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow y^2.\left(y^2-16\right)\ge0\Rightarrow y^2\ge16\)

\(\Leftrightarrow y\ge4\left(TM\right)\)hoac \(y\le-4\left(KTM\right)\)

Vay \(y\ge4\)khi\(x=\frac{15}{25}\)

y²= (5-3x)²/ ( 1-x²)

y²= ( 25+9x²-30x) / ( 1-x²)

y² = (  16-16 x² +25x²-30x+9) / ( 1-x²)

y² = 16 + (5x-3)² / ( 1-x²)

vì -1<x<1 => x²<1 => 1-x²>0

=> ( 5x-3)²/ (1-x²) >= 0

=> y²>=16

=> y>= 4 => min y =4 

dấu = xảy ra <=> x=5/3

Đặt \(a=\sqrt{1-x},a\ge0\)  ; \(b=\sqrt{1+x},b\ge0\)

\(\Rightarrow y=\frac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\left(1+x\right)+4\left(1-x\right)}{\sqrt{1+x}.\sqrt{1-x}}=\frac{b^2+4a^2}{ab}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có : \(\frac{b^2+4a^2}{ab}\ge\frac{2.\sqrt{b^2.4a^2}}{ab}=\frac{4ab}{ab}=4\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow b^2=4a^2\Leftrightarrow b=2a\Leftrightarrow\sqrt{1+x}=2\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}\)

Vậy Min y = 4 \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}\)

b, Ta có 

\(\frac{\sqrt{x}+1}{y+1}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(y+1\right)-y-y\sqrt{x}}{y+1}=\sqrt{x}+1-\frac{y\left(\sqrt{x}+1\right)}{y+1}\)

Mà \(y+1\ge2\sqrt{y}\)

=> \(\frac{\sqrt{x}+1}{y+1}\ge\sqrt{x}+1-\frac{1}{2}\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+1\right)\)

Khi đó

\(P\ge\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)

Mà \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{3}=3\)

=> \(P\ge\frac{1}{2}.3+3-\frac{3}{2}=3\)

Vậy MinP=3 khi x=y=z=1

Đặt \(t=\sqrt{x},t\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 1 <=> x = 1

B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 tại x = 1

1,2 kiểu gì ẹ

3,

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge2\)

=> \(\frac{1}{x+1}\ge\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Làm tương tự rồi nhân lại ta được \(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

=> \(xyz\le\frac{1}{8}\).Dấu bằng khi x=y=z=1/2

4.

Ta đi CM: \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\) <=> \(a^4+a\left(b+c\right)^3\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

<=> \(a\left(b+c\right)^3\le2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\)

Áp dụng BDT COSI thì

\(2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a^2\left(b+c\right)^2+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}\ge a\left(b+c\right)^3\)

Do đó có dpcm

Làm tương tự rồi cộng lại ta đc bdt ban đầu

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

con 2 chưa cho dương nhờ

giúp đê mọi người....