Cho tam giác ABC nhọn có AB=c, BC=a, CA=b. Chứng minh rằng:
a) \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{b+c}\)
b) \(\sin\frac{\widehat{B}}{2}\le\frac{b}{c+a}\)
c, \(\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{c}{a+b}\)
d) \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\sin\frac{\widehat{B}}{2}.\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}\)
các bạn giúp mình với:
cho a, b, c lần lượt là độ dài cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC.
a) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)
b) chứng minh \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\sin\frac{\widehat{B}}{2}.\sin\frac{\widehat{C}}{2}\le\frac{1}{8}\)
c) đường cao AD, BE cắt nhau ở h. chứng minh \(AH.HD\le\frac{BC^2}{4}\)
cho tam giac nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. \(D\in BC,E\in AC,F\in AB\) chứng minh
a, bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn
b, HA. HD = HB. HE
c, \(sin\widehat{ADF}.sin\widehat{BED}.sin\widehat{CFE}\le\frac{1}{8}\)
a) Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\)
=> Tứ giác BFEC nội tiếp
=> 4 điểm nằm trên một đường tròn
b) Xét 2 tam giác AHE và BHD đồng dạng ( góc. góc)
=> Có tỉ lệ \(\frac{HA}{HB}=\frac{HE}{HD}\)=> HA.HD=HB.HE
c)Vì tứ giác AFDC nội tiếp, EFBC nội tiếp
SUY ra : \(\widehat{ADF}=\widehat{FCE}=\widehat{FBE}\Rightarrow sin\widehat{ADF}=\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
Tương tự \(sin\widehat{BED}=\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB};sin\widehat{CFE}=\frac{EC}{BC}=\frac{CD}{AC}\)
=> \(\left(sin\widehat{ADF}.sin\widehat{BED}.sin\widehat{CFE}\right)^2=\frac{AF}{AC}.\frac{AE}{AB}.\frac{BF}{BC}.\frac{BD}{AB}.\frac{EC}{BC}.\frac{CD}{AC}\)
=\(\frac{AF.AE.BF.BD.EC.CD}{AC^2.BC^2.AB^2}=\frac{AF.AE.BF.BD.EC.CD}{\left(AE+EC\right)^2.\left(BD+DC\right)^2.\left(AF+FB\right)^2}\le\frac{AF.AE.BF.BD.EC.CD}{4AE.EC.4.\text{BD.DC.4AF}.FB}=\frac{1}{64}\)
=> \(sin\widehat{ADF}.sin\widehat{BED}.sin\widehat{CFE}\le\frac{1}{8}\)
Cho tam giác ABC , BC=a ,AC=b, AB=c. Cmr sin \(\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{b+c}\)
\(\Delta ABC\) có : BC=a ; AC=b ; AB=c . C/m
a) \(a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt{3}S_{\Delta ABC}\)
b) \(\frac{a}{\sin\widehat{A}}=\frac{b}{\sin\widehat{B}}=\frac{c}{\sin\widehat{C}}=2R\) ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) )
cho tam giác ABC ,\(\widehat{A},\) <45,\(\widehat{B}\)<45
chứng minh Stam giác ABC=\(\frac{\sin\widehat{2B}\cdot BC^2+\sin\widehat{2A}\cdot AC^2}{2}\)
Cho tam giác ABC, BC=a, AC=b, AB=c. Chứng minh \(Sin\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{b+c}\)
Cho tam giác ABC , BC=a ,AC=b, AB=c. Cmr sin\(\frac{\widehat{A}}{2}\le\frac{a}{b+c}\)
Cho tam giác ABC, BC=a, AC=b, AB=c. Chứng minh \(sin\frac{\widehat{A}}{c}\le\frac{a}{b+c}\)
Kẻ phân giác AD, BK vuông góc với AD.
\(\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\sin BAD\)
Xét tam giác AKB vuông tại K, ta có:
\(\sin BAD=\frac{BK}{AK}\left(1\right)\)
Xét tam giác BKD vuông tại K, ta có:
\(BK\Leftarrow BD\)thay vào (1)
\(\sin BAD\Leftarrow\frac{BD}{AB}\left(2\right)\)
Lại có: \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{BD}{\left(BD+CD\right)}=\frac{AB}{\left(AB+AC\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{\left(AB+AC\right)}\)
\(\Rightarrow BD=\frac{\left(AB.BC\right)}{\left(AB+AC\right)}\)thay vào (2)
\(\sin BAD\Leftarrow\frac{\left[\frac{\left(AB.BC\right)}{\left(AB+AC\right)}\right]}{AB}\)
\(=\frac{BC}{\left(AB+AC\right)}\left(ĐPCM\right)\)
