a) Xét \(\Delta ABN\)và \(\Delta ACP\)có:

\(\widehat{A}\)chung

\(\widehat{BNA}=\widehat{CPA}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABN-\Delta ACP\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AP}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)

Xét \(\Delta ANP\)và \(\Delta ABC\)có :

\(\frac{AN}{AP}=\frac{AB}{AC}\)(chứng minh trên)

\(\widehat{A}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta ANP-\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{NP}{BC}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng) (điều phải chứng minh)

b) Xét \(\Delta PAH\)và \(\Delta MAB\)có:

\(\widehat{APH}=\widehat{AMB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{A_1}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta PAH-\Delta MAB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)(2 cặp góc tỉ lệ tương ứng) 

\(\Rightarrow AM.AH=AP.AB\)(điều phải chứng minh)

(tiếp)  \(\frac{AH}{AB}=\frac{AP}{AM}\)\(\Rightarrow\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta HAB\)và \(\Delta PAM\)có:

\(\widehat{A_1}\)chung

\(\frac{AH}{AP}=\frac{AB}{AM}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta HAB-\Delta PAM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{APM}\)(cặp góc bằng nhau) (điều phải chứng minh)

c) Vì \(BN\perp AC\)(giả thiết) \(\Rightarrow\Delta NAB\)vuông tại N

Xét \(\Delta NAB\)vuông tại N có \(\widehat{NAB}=60^0\)(vì \(\widehat{CAB}=60^0\))

Do đó \(AN=\frac{AB}{2}\Rightarrow\frac{AN}{AB}=\frac{1}{2}\)

Vì \(\Delta ANP-\Delta ABC\)(theo câu a))

\(\Rightarrow\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AN}{AB}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)(định lí tỉ số 2 tam giác đồng dạng)

Vậy \(\frac{S_{ANP}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}\)

d) Vì \(PE//AC\)(giả thiết)\(\Rightarrow PE//NC\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{HN}=\frac{HP}{HC}\)(hệ quả của định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\frac{HE}{HP}=\frac{HN}{HC}\)(tính chất của tỉ lệ thức) (1)

Vì \(NF//AB\)(giả thiết)\(\Rightarrow NF//BP\)

\(\Rightarrow\frac{HF}{HP}=\frac{HN}{HB}\)(hệ quả của định lí Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\)\(\frac{HE}{HP}:\frac{HF}{HP}=\frac{HN}{HC}:\frac{HN}{HB}\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{HP}.\frac{HP}{HF}=\frac{HN}{HC}.\frac{HB}{HN}\)

\(\Rightarrow\frac{HE}{HF}=\frac{HB}{HC}\)(3)

Xét \(\Delta HBC\)có (3) (chứng minh trên)

Và \(E\in HB;F\in HC\)(giả thiết)

\(\Rightarrow EF//BC\)(định lí Ta-lét đảo) (điều phải chứng minh)

a, Xét \(\Delta AMH\&\Delta AHB\)có 

\(AMH=AHB=90^o\)

\(MAH=HAB\) (Góc chung)

\(\Rightarrow\Delta AMH~\Delta AHB\left(g.g\right)\)

b , Xét \(\Delta ANH\&\Delta AHC\)có 

\(ANH=AHC=90^O\)

\(NAH=HAC\) (Góc chung)

\(\Delta ANH~\Delta AHC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AN.AC=AH^2\)

xet tam giac AMN dong dang voi tam giac ABC suy ra dien h AMN/dien tinh ABC =1/4 suy ra dien tinh abc =1/4 AMN (dpcm)