Giải

Có. Gọi A = 2 . 3 . 4 ... . 1001. Các số A + 2, A + 3, ..., A + 1001 là 1000 số tự nhiên liên tiếp và rõ ràng đều là hợp số ( đpcm ).

Một vấn đề được đặt ra : Có những khoảng rất lớn các số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số. Vậy có thể đến một lúc nào đó không còn số nguyên tố nữa không ? Có số nguyên tố cuối cùng không ? Từ thế kỉ III trước Công nguyên, nhà toán học cổ Hy Lạp Ơ - clit ( Euclide ) đã chứng minh rằng : Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

Gọi A=2.3.4.5.6.7.8.9.........1001

Khi đó A+2;....;A+1000;A+1001 là  các số tự nhiên liên tiếp 

TA có

A+2=2.3....1001+2=2(3.4.5.6....1001+1)   (hợp số)

A+3=2.3.4...1001+3=3(2.4......1001+1)    (hợp số)

...............

A+1001=2.3.4....1001+1001=1001(2.3...100) hợp số

Vậy có tồn tại dãy 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số

Tớ khác hoàn toàn luôn :

Gọi 1000 số tự nhiên liên tiếp dầu tiên là a , a + 1 , a + 2 , .... , a+1000

Theo đề bài ta có :

a + a + 1 + a + 2 + a +3 +... + a + 1000 

1000a + ( 1 + 2 + 3 + ... + 1000 ) từ 1 đến 1000 có 1000 số tự nhiên 

1000a + 500500 

Ta thấy :

1000a là hợp số , 500500 là hợp số 

Vậy : 1000 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là hợp số 

KO VI neu 2 ,3 la snt 4 da la hs roi

Đặt a=2x3x4x...x101

Ta xét 100 số tự nhiên liên tiếp sau:

a+2;a+3;..;a+1001

Vì 2 chia hết cho 2

=>2x3x4x...x101 chia hết cho 2

hay a chia hết cho 2

Do đó a+2 chia hết cho 2

Mà a+2>2

nên a+2 là hợp số

(mấy câu kia tương tự bn tự làm nha)

Đặt a=2.3.4.5.....101

+) xét 100 STN liên tiếp như sau:

a+2,a+3,...a+101

Vì chia hết cho 2=> 2.3....101 chia hết cho 2. Hay a chia hết cho 2.

Do đó a+2 chia hết cho 2. (*)

Mà a+2 >2 (**)

Từ (*)(**) => a là hợp số (đpcm)

Gọi 1000 số tự nhiên liên tiếp dầu tiên là a , a + 1 , a + 2 , .... , a+1000.
Theo đề bài ta có :
a + a + 1 + a + 2 + a +3 +... + a + 1000 
1000a + ( 1 + 2 + 3 + ... + 1000 ) từ 1 đến 1000 có 1000 số tự nhiên 
1000a + 500500 
Ta thấy :
1000a là hợp số , 500500 là hợp số 
Vậy : 1000 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là hợp số.

Gọi 1000 số tự nhiên liên tiếp dầu tiên là a , a + 1 , a + 2 , .... , a+1000.
Theo đề bài ta có :
a + a + 1 + a + 2 + a +3 +... + a + 1000 
1000a + ( 1 + 2 + 3 + ... + 1000 ) từ 1 đến 1000 có 1000 số tự nhiên 
1000a + 500500 
Ta thấy :
1000a là hợp số , 500500 là hợp số 
Vậy : 1000 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên là hợp số.

Gọi A=2.3.4.5.6.7.8.9.........1001

Khi đó A+2;....;A+1000;A+1001 là  các số tự nhiên liên tiếp 

TA có

A+2=2.3....1001+2=2(3.4.5.6....1001+1)   (hợp số)

A+3=2.3.4...1001+3=3(2.4......1001+1)    (hợp số)

...............

A+1001=2.3.4....1001+1001=1001(2.3...100) hợp số

Vậy có tồn tại dãy 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số

Có tồn tại , ta chứng minh như sau :

Đặt S = 2 . 3 . 4...... .2019 . 2020

Xét 2019 số tự nhiên liên tiếp :

S + 2 ; S + 3 ; S + 4 ; ......; S + 2020

Ta có : 

S + 2 = 2 . 3 .4 ...... . 2019 . 2020 + 2 = 2 . ( 3 .4 . 5 ..... .2019  . 2020 + 1 )  là hợp số

S + 3 = 2 . 3 . 4 ...... . 2019 . 2020 + 3 = 3 . ( 2 . 4 . 5 ....... .2019 .2020 + 1 ) là hợp số

.......

S + 2020 = 2 . 3 .4 ........ .2019 . 2020 + 2020 = 2020 . ( 2 .3 .4 . 5 ....... 2019 + 1 ) là hợp số

\(\Rightarrow\)ĐPCM

Có tồn tại. 

Chứng minh:

Đặt: A =  2 . 3 . 4... 2019. 2020

Xét 2019 số tự nhiên liên tiếp:

A + 2; A + 3; ... ; A + 2020.

Ta có: A + 2 = 2 . 3 . 4... 2019. 2020 + 2 = 2 . ( 3 . 4... 2019. 2020 + 1 ) là hợp số.

          A + 3 = 2 . 3 . 4... 2019. 2020 + 3 = 3 . ( 2 . 4... 2019. 2020 + 1 ) là hợp số.

           ...

            A + 2020 = 2 . 3 . 4... 2019. 2020 + 2020 = 2020 . ( 2 . 3.  4... 2019 + 1 ) là hợp số.

 Vậy tồn tại dãy số gồm 2019 số tự nhiên liên tiếp là hợp số. 

Chắc là có vì hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó hoặc hiểu dễ hơn là số chia hết cho các số khác ngoài 1 và chính nó.

~ Hok tốt ~

P/s : Mik không chắc đâu :VV