\(\Leftrightarrow\left(3n+7-2n-3\right)\left(3n+7+2n+3\right)\)

\(=\left(5n+10\right)\left(n+4\right)⋮5\)

Ta có:

\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)=n\left(2n^2+2n+n+1\right)=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)=n\left(n+1\right)\left(2n-2\right)+3n\left(n+1\right)=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)

Ta thấy:

\(n-1;n;n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp (\(n\in Z\)) => tích của chúng chia hết cho 2 và 3. \(\Rightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

Và \(3n\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow2n^3+3n^2+n⋮6\)

\(=\left(4n-3\right)^2-\left(3n-4\right)^2\)

\(=\left[\left(4n-3\right)+\left(3n-4\right)\right]\left[\left(4n-3\right)\right]-\left(3n-4\right)\)

\(=\left(7n-7\right)\left(n+1\right)=7\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vậy \(\left(4n-3\right)^2-\left(3n-4\right)^2\)   Chia hết cho 7 với mọi n thuộc Z

t.i.c.k mik mik t.i.c.k lại

\(\left(4n-3\right)^2-\left(3n-4\right)^2=\left[\left(4n-3\right)+\left(3n-4\right)\right]\left[\left(4n-3\right)-\left(3n-4\right)\right]=\left(7n-7\right)\left(n+1\right)=7\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Từ đề bài ta có A= 3ⁿ⁺¹ (3² + 1) + 2ⁿ⁺¹ (2 +1) = 3ⁿ .3.2.5 + 2ⁿ .2.3

=> ĐPCM;

A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6

Ta có 2n³ + 3n² + n = n(n + 1)(2n + 1)

Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên n(n + 1) chia hết cho 2 nên n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 2 (1)

Vậy để 2n³ + 3n² + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6 ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3

Thật vậy

Ta có TH1: n = 3k + 1 (k thuộc Z)

=> (3k + 1)(3k + 2)(6k + 3) chia hết cho 3

         TH2: n = 3k + 2 (k thuộc Z)

=> (3k + 2)(3k + 3)(6k + 5) chia hết cho 3

=> n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2n³ + 3n² + n = n(n + 1)(2n + 1) chia hết 2.3 = 6 với mọi số nguyên n

bạn àm theo cách đòng dư thức á. Nếu bạn không biết làm thì nhắn xuống dưới mình giải dùm