Chứng minh rằng:
a) Nếu $a^2=bc$a2=bc thì $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}$a+ba−b =c+ac−a
b) Nếu $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}$a+ba−b =c+ac−a thì $a^2=bc$
Chứng minh rằng : nếu a , b , c khác 0 thỏa mãn :
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}\) thì \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau; ta được:
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{ab+ac+bc+ba-\left(ca+bc\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)
Tương tự; ta được: \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{bc+ba+ca+bc-\left(ab+ac\right)}{3+4-2}=\frac{2bc}{5}\)
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{ab+ac-\left(bc+ba\right)+ca+cb}{2-3+4}=\frac{2ac}{3}\)
Từ các điều trên; ta được:
\(\frac{2ac}{3}=\frac{2ab}{1}=\frac{2bc}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{10ac}{15}=\frac{30ab}{15}=\frac{6bc}{15}\)
\(\Rightarrow10ac=30ab=6bc\)
\(\Rightarrow10ac=30ab\Rightarrow b=\frac{c}{3}\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\left(1\right)\)
\(30ab=6bc\Rightarrow5a=c\Rightarrow a=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{c}{15}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\left(ĐPCM\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+bc}{4}=\frac{ab+ac+bc+ba-\left(ca+bc\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)
Chứng minh nếu a, b, c# 0 thỏa mãn \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}thì\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)
Chứng minh rằng:
Nếu a2 = bc (với a ≠ b và a ≠ c) thì a + b a - b = c + a c - a
Ta có:
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Chứng minh rằng nếu (a2-bc)(b-abc)=(b2-ac)(a-abc)= các số a,b,c,a-b khác 0 thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c\)
1) BIẾT a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một .Chứng minh ƯCLN( abc ; ab+bc+ca ) = 1
2) chứng minh rằng nếu a,b,c thỏa mãn bất đẳng thức \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}...\)thì /a/ = /b/ = /c/
dấu / / là giá trị tuyệt đối nha mk cần gấp các bạn cố giúp mk
Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh bất đẳng thức :\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử \(a\ge b\ge c\)(1)
Có \(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{a}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\\frac{2}{b}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{2}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Ta có đpcm
Cho a,b,c là ba số dương . Chứng minh bất đẳng thức :\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Chứng minh rằng : Nếu abc=1 thì \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)
do abc=1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}\)=\(\frac{a}{ab+a+abc}\)=\(\frac{a}{a\left(bc+b+1\right)}\)=\(\frac{1}{bc+b+1}\)
\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc}{abc+bc+b}\)(nhân cả 2 vế cho b)=\(\frac{bc}{bc+b+1}\)
=>\(\frac{a}{ab+a+1}\)+\(\frac{b}{bc+b+1}\)+\(\frac{c}{ac+c+1}\)=\(\frac{bc+b+1}{bc+b+1}\)=1
Cho a;b;c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh:\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)
Đặt a+b-c=x
-a+b+c=y
a-b+c=z
=> x+y+z=a+b+c
=>x+y=2b
y+z=2c
x+z=2a
nhân 4 cả hai vế rồi tách ra là đc nha bạn
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Đặt a+b‐c=x
‐a+b+c=y
a‐b+c=z
=> x+y+z=a+b+c
=>x+y=2b
y+z=2c
x+z=2a
nhân 4 cả hai vế rồi tách ra là đc nha bạn
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c