Cho tam giác ABC , trên cạnh AB lấy M , trên cạnh AC lấy N sao cho BM = CN . Gọi E , F , G , H là trung điểm của BC , CM , MN , NB . Chứng minh EFGH là hình thoi
cho tam giác ABC có AC>AB lấy M thuộc AB , N thuộc AC sao cho BM=CN Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của BC,CM,MN,NB.
a) Cmr EFGH là hình thoi
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EFGH là hình vuông
c) Chứng Minh góc BAC = góc HGF
a: Xét ΔNMC có
H là trung điểm của MN
F là trung điểm của MC
Do đó:HF là đường trung bình
=>HF//NC và HF=NC/2(1)
Xét ΔNBC có
G là trung điểm của BN
E là trung điểm của BC
Do đóGE là đường trung bình
=>GE//NC và GE=NC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra HF=GE và HF//GE
Xét ΔNMB có
H là trung điểm của NM
G là trung điểm của NB
DO đó: HG là đường trung bình
=>HG=MB/2=NC=HF
Xét tứ giác EFHG có
HF//GE
HF=GE
Do đó:EFHG là hình bình hành
mà HF=HG
nên EFHG là hình thoi
b: Để EFGH là hình vuông thì HF vuông góc với HG
=>AB vuông góc với AC
cho tam giác ABC, lấy M trên cạnh AB, điểm N trên cạnh AC sao cho BM=CN. Gọi D,E,H,G thứ tự là trung điểm của BC,MN,BN,CM a) Tứ giác EDGH là hình gì b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì EDGH là hình vuông
Cho tam giác ABC cân tại A , trên AB và AC lấy các điểm M,N sao cho BM=CN
a, CM tam giác AMN cân và AMN =ABC
b, MNBC là hình gì
c, Gọi E,F,G,H là trung điểm của AM ,AN NC, MB . Chứng minh EFGH Là hình thang cân
d, EF =3cm ,GH = 8CM . Tính BC
a) Ta có: AM+MB=AB(M nằm giữa hai điểm A và B)
AN+NC=AC(N nằm giữa A và C)
mà MB=NC(gt)
và AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AM=AN
Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)
nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)
Ta có: ΔAMN cân tại A(cmt)
nên \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
b) Ta có: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(cmt)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
Xét tứ giác MNBC có MN//BC(cmt)
nên MNBC là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang MNBC(MN//BC) có \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(ΔABC cân tại A)
nên MNBC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
c) Xét ΔAMN có
E là trung điểm của AM(gt)
F là trung điểm của AN(gt)
Do đó: EF là đường trung bình của ΔAMN(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
Suy ra: EF//MN và \(EF=\dfrac{MN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà MN//BC(cmt)
nên EF//BC(3)
Xét hình thang MNCB(MN//CB) có
H là trung điểm của MB(gt)
G là trung điểm của NC(gt)
Do đó: HG là đường trung bình của hình thang MNCB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)
Suy ra: HG//MN//BC và \(HG=\dfrac{MN+BC}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)(4)
Từ (3) và (4) suy ra EF//HG
Ta có: HG//BC(cmt)
nên \(\widehat{EHG}=\widehat{ABC}\) và \(\widehat{FGH}=\widehat{ACB}\)(Các cặp góc đồng vị)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)
Xét tứ giác EFGH có EF//HG(cmt)
nên EFGH là hình thang có hai đáy là EF và HG(Định nghĩa hình thang)
Hình thang EFGH(EF//HG) có \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)(cmt)
nên EFGH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
cho tam giác ABC có (AB<AC). Trên cạnh AB lấy M trên cạnh AC lấy N sao cho BM=CN. Gọi E,F,G,G là trung điểm của BC,CM,NB
a)CM EFGH là hình thoi
b) Vẽ AD là phân giác góc BAC. CM AD song song GE
a: Xét ΔNMC có
H là trung điểm của MN
F là trung điểm của MC
Do đó:HF là đường trung bình
=>HF//NC và HF=NC/2(1)
Xét ΔNBC có
G là trung điểm của BN
E là trung điểm của BC
Do đóGE là đường trung bình
=>GE//NC và GE=NC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra HF=GE và HF//GE
Xét ΔNMB có
H là trung điểm của NM
G là trung điểm của NB
DO đó: HG là đường trung bình
=>HG=MB/2=NC=HF
Xét tứ giác EFHG có
HF//GE
HF=GE
Do đó:EFHG là hình bình hành
mà HF=HG
nên EFHG là hình thoi
b: Để AD//GE thì AD//NC
=>AD//AC(vô lý)
=>Đề sai rồi bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=3cm, AC=5cm. Trên AB lấy M sao cho BM=2cm, trên AC lấy N sao cho CN= 2cm. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của MN,BM,BC,MC. Tính SEFGH
Cho tam giác ABC ( AB< AC). Trên AB lấy M, AC lấy N sao cho BM=CN. Gọi E là trung điểm của MN, F là trung điểm của BC, I là trung điểm BN.
a) CM tam giác IEF cân
b) Đường thẳng EF cắt AB, AC tại G và H. CM AG=AH
cho tam giác abc =8cm ac=12cm lấy điểm m trên cạnh ab sao cho bm=2cm lấy điểm n trên cạnh ac sao cho bn,ac,cn =3cm a, chứng minh rằng mn//bc b,gọi k là trung điểm của bc, tia ak cắt mn tại i, chứng minh rằng ni/kc=ai/ak c, chứng minh rằng i là trung điểm của mn
a: AM=6-2=6cm
AN=12-3=9cm
=>AM/AB=AN/AC
=>MN//BC
b: Xet ΔAKC có NI//KC
nên NI/KC=AI/AK
Xét ΔABK có MI//BK
nên MI/BK=AI/AK
=>NI/KC=MI/BK
c: NI/KC=MI/BK
KC=KB
=>NI=MI
=>I là tđ của MN
Cho tam giác ABC. O là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA, trên cạnh CB lấy điểm N sao cho CN = CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng :
a) NE = MF
b) Tam giác MON cân
a) Vì O cách đều 3 cạnh của tam giác nên OD = OE = OF
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OBF và tam giác vuông ODB ta có:
BF=√OB2−OF2BF=OB2−OF2
BD=√OB2−OD2BD=OB2−OD2
Mà OF = OD nên BF = BD.
Tương tự áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông OEC và tam giác vuông ODC suy ra CE = CD
∆BAM có AB = BM nên ∆BAM là tam giác cân tại B ⇒ˆBAM=ˆBMA⇒BAM^=BMA^
Xét ∆BAM có BF = BD, BA = BM nên theo định lý Ta – lét ta có :
BFBA=BDBM⇒DF//AM⇒BFBA=BDBM⇒DF//AM⇒ DFAM là hình thang
Hình thang DFAM có ˆFAM=ˆAMDFAM^=AMD^ nên DFAM là hình thang cân
⇒{MF=ADAF=MD⇒{MF=ADAF=MD
∆ANC có AC = CN nên ∆ANC cân tại C⇒ˆCAN=ˆCNA⇒CAN^=CNA^
Xét ∆ANC có CE = CD, CA = CN nên theo định lý Ta – lét ta có :
CECA=CDCN⇒DE//AN⇒CECA=CDCN⇒DE//AN⇒ DEAN là hình thang
Hình thang DEAN có ˆCAN=ˆCNACAN^=CNA^ nên DEAN là hình thang cân
⇒{NE=ADAE=ND⇒{NE=ADAE=ND
⇒MF=NE⇒MF=NE
b) Xét ∆OEA và ∆ODN ta có :
⎧⎪⎨⎪⎩OE=ODˆOEA=ˆODNEA=DN{OE=ODOEA^=ODN^EA=DN⇒ΔOEA=ΔODN(c−g−c)⇒ON=OA⇒ΔOEA=ΔODN(c−g−c)⇒ON=OA
Xét ∆OAF và ∆OMD ta có :
⎧⎪⎨⎪⎩AF=MDˆOFA=ˆODMOF=OD{AF=MDOFA^=ODM^OF=OD⇒ΔOAF=ΔODM(c−g−c)⇒OA=OM⇒ΔOAF=ΔODM(c−g−c)⇒OA=OM
⇒OM=ON⇒OM=ON hay ∆MON cân tại O.
Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC kéo dài lấy điểm N sao cho CN=BM. Gọi H,K lầm lượt là hình chiếu của M,N trên BC,MN cắt BC tại I. Chứng minh:
a)MH=NK
b) I là trung điểm của MN.
c)Chứng minh khi M di chuyển trên AB thì đường trung trwucj của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.