Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p là số lẻ

=>p=2k+1

Khi đó: (p-1).(p+1)=(2k+1-1).(2k+1+1)=2k.(2k+2)=2k.2.(k+1)=4.k.(k+1)

Vì k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp

=>k.(k+1) chia hết cho 2

=>4.k.(k+1) chia hết cho 4.2

=>4.k.(k+1) chia hết cho 8

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8(1)

Lại có: (p-1).(p+1)=p²-1

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p không chia hết cho 3

=>p² chia 3 dư 1

=>p²-1 chia hết cho 3

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2) ta thấy:

(p-1).(p+1) chia hết cho 8 và 3

Mà (8,3)=1

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8.3

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 24

Vậy (p-1).(p+1) chia hết cho 24

Ta có : (p-1)(p+1) = p² - 1

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ko chia hết cho 3. Suy ra : p² không chia hết cho 3

\(\Rightarrow\)p² chia 3 dư 1 (Vì p² là số chính phương)

\(\Rightarrow\)p² -1 \(⋮\)3

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 2. Suy ra p-1\(⋮\)2 và p+1\(⋮\)2.

\(\Rightarrow\)(p-1)(p+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

Do đó: (p-1)(p+1) \(⋮\)8

Vì (p-1)(p+1) chia hết cho 3 và 8 nên (p-1)(p+1) \(⋮\)24 (đpcm)

\(a\left(a^2-1\right)\)

+ Xét : a là số lẻ thì a^2 chia 8 dư 1

Vậy a^2-1 chia hết cho 8 (1)

+ Xét : vì 3<a

Nên a^2 chia 3 dư 1

Và a^2-1 chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : a^2-1 là bội của 3 và 8

=> a(a^2-1) chia hết cho 24 (đpcm)

Another way : 

A là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a không chia hết cho 2,nghĩa là a có dạng là 2k+1

Từ đó ta thay vào :

\(a\left(a^2-1\right)=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)

Suy ra a chia hết cho 4(1)

+ Mặt khác : \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên :

\(\orbr{\begin{cases}a⋮2\left(2\right)\\a⋮3\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1) (2) và (3)

Ta có : a(a^2-1) chia hết cho 24

Ta có: A = n² - 1 = (n - 1)(n + 1)

Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên (n - 1)(n + 1) là tích hai số chẵn liên tiếp => A \(⋮\) 8 (1)

Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k thuộc N)

- Nếu n = 3k + 1 thì:

A = (n - 1)(n + 1) = (3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1) = 3k(3k + 2) \(⋮\) 3

- Nếu n = 3k + 2 thì:

A = (n - 1)(n + 1) = (3k + 2 - 1)(3k + 2 + 1) = (3k + 1)(3k + 3) = 3(3k + 1)(k + 1) \(⋮\) 3

Từ hai trường hợp trên ta có A \(⋮\) 3 (2)

Mà (8,3) = 1 (3)

Từ (1),(2),(3) => \(A⋮24\)