chứng minh bằng phương pháp quy nap nhá bạn

Viết lại đẳng thức cần cm 
\(1^3+2^3+..+n^3=\left(1+2+..+n\right)^2\)(*)
với n =1 thì \(1^3=1^2\)(ĐÚNG )
với n=2 thì \(1^3+2^3=9=3^2\)(ĐÚNG)

Giả sử (*) đúng với \(n=k\left(k\in N,k\ne0\right)\Leftrightarrow1^3+2^3+..+k^3=\left(1+2+..+k\right)^2\)
Ta đi chứng minh (*) đúng với n=k+1
Thạt vậy \(1^3+2^3+..+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+..+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(1+..+k\right)^2+\left(k+1\right)\left(k+1\right)^2=\left(1+..+k\right)^2+k\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^2\)
\(=\left(1+..+k\right)^2+2\left(k+1\right)\left(1+..+k\right)+\left(k+1\right)^2=\left(1+..+k+k+1\right)^2\)(dpcm )

cho em hỏi đoạn này:

\(\left(1+..+k^2\right)+k\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^2.\)sao lại bằng \(\left(1+..+k\right)^2+2\left(k+1\right)\left(1+..+k\right)+\left(k+1\right)^2..\)

chỗ \(k\left(k+1\right)^2\)biến đổi làm sao ạ?

chtt là đc ý đầu 
ý sau thì dùng nhị neww

chtt là j bác

n là số nguyên dương

Bình phương hai vế, ta được:

\(\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)^2=n+2+n+1-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\) \(=2n+3-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}\)

\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=n+1+n-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\) \(=2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

Ta có: \(\left(n+2\right)\left(n+1\right)>n\left(n+1\right)\Rightarrow2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

Mà 2n + 3 > 2n + 1

 \(\Rightarrow2n+3-2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>2n+1-2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

=> ( √n+2 -  √n+1)^2 > ( √n-1 -  √n)^2

=>  √n+2 -  √n+1 >  √n-1 -  √n

P/s: Em làm còn sai nhiều, mong mọi người góp ý, đừng chọn sai cho em. Em cảm ơn

Hình như sai b ạ

\(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\) và \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Bình phương mỗi số hạng, ta có:

\(\left(\sqrt{n+2}\right)^2-\left(\sqrt{n+1}\right)^2\) và \(\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2\)

\(n+2-n+1\) và \(n+1-n\) ( Vì \(n\ge0\))

\(3\) và \(1\)

\(\Rightarrow3>1\)

Vậy \(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

cần gấp ko bn 

có bạn. mai mk faj nộp r

4. \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{55}\)

\(6\sqrt{55}\)  là số vô tỉ, suy ra vế trái phải là các căn thức đồng dạng chứa  \(\sqrt{55}\)

Đặt  \(\sqrt{x}=a\sqrt{55};\sqrt{y}=b\sqrt{55}\)  với  \(a,b\in N\)

\(\Rightarrow a+b=6\)

Xét các TH:

a = 0 => b = 6

a = 1 => b = 5

a = 2 => b = 4

a = 3 => b = 3

a = 4 => b = 2

a = 5 => b = 1

a = 6 => b = 0

Từ đó dễ dàng tìm đc x, y

Biên cưng. Minh Quân đây. 

n² + 6n = n(n + 6) chia hết n

Mà n² + 6n phải là số nguyên tố => n = 1

Thử lại: n(n + 6) = 7 nguyên tố

Vậy n = 1

Bài này trên gg có

Ta có: 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho k + 1 số ta có: 

Lần lượt cho k = 1, 2, 3, ... rồi cộng lại ta được