Cho hai số dương a, b thỏa mãn ab a b > 2016a+2017b . Chứng minh:
a+b>\(\left(\sqrt{2016}+\sqrt{2017}\right)^2\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=2016.Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2017b+ac}}+\frac{c}{c+\sqrt{2017c+ab}}\)\(\le1\)
Cho ba số thực a,b,c dương thỏa mãn:\(a+b+c=2016\)
Chứng minh:\(\frac{a}{a+\sqrt{2016a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2016b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2016c+ab}}\le1\)
Ap dông B§T C-S ta cã:
\(\frac{a}{a+\sqrt{2016a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\)
\(\le\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\). Tuong tù ta cx cã:
\(\frac{b}{b+\sqrt{2016b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{c+\sqrt{2016c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta dc:
\(VT\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
P/s:may mk bi loi Unikey r` mk dg ban chua kip chinh lai bn gang doc
Cho 3 số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1008
Chứng minh
\(\sqrt{2016a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{2016b+\frac{\left(c-a\right)^2}{3}}+\sqrt{2016c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le2016\sqrt{2}\)
a) Cho x,y thỏa mãn đẳng thức \(\left(x+\sqrt{x^2+2016}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2016}\right)=2016\).Tính x+y
b) Cho x,y thỏa mãn đẳng thức\(\left(\sqrt{x^2+2017}-x\right)\left(\sqrt{y^2+2017}-y\right)=2017\).Tính x+y
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng \(\sqrt{\dfrac{a.\left(a+c\right)}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{b.\left(b+c\right)}{b+ac}}=\sqrt{a+b}\)
Cho hai số nguyên dương a,b thỏa mãn \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\sqrt{2022}}\). Tính \(A=a\sqrt{b^2+1+b+\sqrt{a^2+1}}\)
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \(2a+3b=2019\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{ab+2a+2b+4}+\sqrt{\left(2a+2\right)b}\le1012\)
Đặt vế trái của BĐT là P:
\(P=\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\sqrt{2b.\left(a+1\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(a+2+b+2\right)+\dfrac{1}{2}\left(2b+a+1\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(2a+3b+5\right)=\dfrac{1}{2}.2024=1012\)
Dấu "=" không xảy ra
Cho a,b,c\(\ge\)0 thỏa mãn a+b+c=1008. CMR: \(\sqrt{2016a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{2016b+\frac{\left(c-a\right)^2}{2}}+\sqrt{2016c+\frac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le2016\sqrt{2}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a > c, b > c. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{c}.\sqrt{b-c}\le\sqrt{\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{b-c}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a-c}\right)^2}.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{c+b-c}.\sqrt{c+a-c}=\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)
Bu-nhi-a-cốp-ski: (ab+cd)2 \(\le\)( a2 + c2 )( b2 + d2 ) mà bạn.