\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+2013x\right)^{2014}-\left(1-2014x\right)^{2013}}{x^2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2013.2014\left(1+2013x\right)^{2013}+2013.2014\left(1-2014x\right)^{2012}}{2x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2013^3.2014\left(1+2013x\right)^{2012}-2012.2013.2014^2\left(1-2014x\right)^{2011}}{2}\)

\(=\dfrac{2013^3.2014-2012.2013.2014^2}{2}=...\)

ta có:

x^4+2014x^2+2013x+2014 = x^4+2013x^2+x^2+2013x+2013+1

                                        =(x^4+x^2+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+1)^2-x^2+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+x+1)(x^2+x+2014)

x⁴+2014x²+2013x+2014=(x⁴-x)+(2014x²+2014x+2014)

                                  =x(x-1)(x²+x+1)+2014(x²+x+1)

                                  =(x^2+x+1)(x²-x+2014)

Ta có: \(x=2013\Leftrightarrow x+1=2014\)

Thay vào ta được

\(C=x^4-\left(x+1\right)x^3+\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)x+x+1\)

\(C=x^4-x^4-x^3+x^3+x^2-x^2-x+x+1\)

\(C=1\)

Vậy C = 1

x^4+2014x^2+2013x+2014 = x^4+2013x^2+x^2+2013x+2013+1

                                        =(x^4+x^2+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+1)^2-x^2+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)

                                       =(x^2+x+1)(x^2+x+2014)

x^4+2014x^2+2013x+2014 = x^4+2013x^2+x^2+2013x+2013+1
=(x^4+x^2+1)+2013(x^2+x+1)
=(x^2+1)^2-x^2+2013(x^2+x+1)
=(x^2-x+1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)

Đặt \(x^2=y\Rightarrow Q=y^2+2014y+2013\sqrt{y}+2014\)

Xét \(2013\sqrt{y}\) thì \(y\ge0\) để \(2013\sqrt{y}\)đúng.

Do đó: \(Q=y^2+2014y+2013\sqrt{y}+2014\ge2014>0\)

Vậy Q luôn dương với mọi số

x⁴-2014x³+2014x²-2014x+2014 = x⁴ - 2013x³ - x³ + 2013x² + x² +2013x + x + 2014

= x⁴ - 2013 (x³-x²+1) - (x³-x²+1) + 2014

= x⁴ -2014 (x³-x²+1) + 2014 = x⁴ - 2014 (x³-x²) = x⁴ - 2014 x² (x-1) = x² ( 2013² - 2014.2012) = x² [2013² - (2013+1).(2013-1)]

= x² = 2013²

giúp tôi giải bài toán này giùm nhal bạn :/x+1/+/x+2/+/x+3/+...+/x+2013/=2014x