a, Biểu thức A có \(5\inℤ,n\inℤ\). Để A là phân số thì ta có điều kiện là :\(n-1\ne0\Rightarrow n\ne-1\)

\(A=\frac{5}{n-1}\Rightarrow n-1\inƯ(5)\)

Để A là số nguyên \(\Leftrightarrow n-1\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

b, Gọi d là ƯCLN\((n,n+1)\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow(n+1)-n⋮d\)

\(\Rightarrow n-n+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy : ....

c, \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{49\cdot50}< 1-\frac{1}{2}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}< \frac{50}{50}=1\)

\((đpcm)\)

Ta có công thức \(\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)(bạn tự lên mạng coi cách chứng minh nha)

Áp dụng vào bài suy ra \(\frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2};\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};...;\frac{1}{49.50}=\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

Cộng theo vế ta được \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac{1}{50}< 1\)(đpcm)

để A=5/n-1 là phân số thì n#1

để A=5/n-1 là số nguyên thì 5 chia hết cho n-1 

suy ra n-1 thuộc Ư(5)={1;-1;5;-5}

lập bảng ta có n={2;0;6;-4}

ta có ước của hai số nguyên liên tiếp bằng 1

suy ra Ư(n: n-1)=1 vậy n/n-1 là phân số tối giản

ta có 1/1x2+1/2x3+1/3x4+....+1/49/50

       =1/1-1/2+1/2-1/3+1/4-1/5 +......+1/49-1/50

       =1-1/50

       =49/50<1

vậy 1/1x2+1/2x3+1/3x4+.....+1/49x50<1

\(Q=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(Q=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)

gọi d là UCLN của n,(n+1) ta có:

\(\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow n+1-n⋮d\Rightarrow d=1}\)

=> Q là p/s tối giãn mà n khác 0 => Q ko thuộc Z

a:

\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\left(1\right)\)

Đặt \(S=1^2+2^2+...+n^2\)

Với n=1 thì \(S_1=1^2=1=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(2\cdot1+1\right)}{6}\)

=>(1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k

=>\(S_k=1^2+2^2+3^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)

Ta sẽ cần chứng minh (1) đúng với n=k+1

Tức là \(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1+1\right)\cdot\left(k+1\right)\left(2\cdot\left(k+1\right)+1\right)}{6}\)

Khi n=k+1 thì \(S_{k+1}=1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2\)

\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)

\(=\left(k+1\right)\left(\dfrac{k\left(2k+1\right)}{6}+k+1\right)\)

\(=\left(k+1\right)\cdot\dfrac{2k^2+k+6k+6}{6}\)

\(=\left(k+1\right)\cdot\dfrac{2k^2+3k+4k+6}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\cdot\left[k\left(2k+3\right)+2\left(2k+3\right)\right]}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\)

=>(1) đúng

=>ĐPCM
b: \(A=1\cdot5+2\cdot6+3\cdot7+...+2023\cdot2027\)

\(=1\left(1+4\right)+2\left(2+4\right)+3\left(3+4\right)+...+2023\left(2023+4\right)\)

\(=\left(1^2+2^2+3^2+...+2023^2\right)+4\left(1+2+2+...+2023\right)\)

\(=\dfrac{2023\cdot\left(2023+1\right)\left(2\cdot2023+1\right)}{6}+4\cdot\dfrac{2023\left(2023+1\right)}{2}\)

\(=\dfrac{2023\cdot2024\cdot4047}{6}+\dfrac{2023\cdot2024}{1}\)

\(=2023\left(\dfrac{2024\cdot4047}{6}+2024\right)⋮2023\)

\(A=\dfrac{2023\cdot2024\cdot4047}{6}+2023\cdot2024\)

\(=2024\left(2023\cdot\dfrac{4047}{6}+2023\right)\)

\(=23\cdot11\cdot8\cdot\left(2023\cdot\dfrac{4047}{6}+2023\right)\)

=>A chia hết cho 23 và 11

b)goi d la UC(n;n+1)

suy ra n chia het cho d (1)

suy ra n+1 chia het cho d (2)

tu (1) va (2) suy ra n-(n+1) chia het cho d

suy ra n-n-1 chia het cho d

suy ra -1 chia het cho d 

suy ra d=-1 hoac 1

suy ra UC (n;n+1)=1 hoac -1

suy ra n/n+1 la phan so toi gian