Chứng minh rằng \(\sqrt{15}\) là một số vô tỉ.
Chứng minh rằng \(\sqrt{15}\) là số vô tỉ.
Chứng minh rằng \(\sqrt{15}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{15}\) là số hữu tỉ
=>\(\sqrt{15}=\frac{m}{n}\left(\text{phân số tối giản}\right)\)
=>m=\(\sqrt{15}\).n
=>m2=15n2
=>m2 chia hết cho 15
=>m chia hết cho 15
Đặt m=15k
=>m2=225k2
=>225k2=15.n2
=>n2=15k2
=>n2 chia hết cho 15
=> n chia hết cho 15
ta thấy m và n cùng chia hết cho 15 =>m/n chưa tối giản
=>trái giả thiết
=>\(\sqrt{15}\)là số vô tỉ
Chứng minh rằng : \(\sqrt{2}\)là một số vô tỉ
Nếu \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ thì
Ta có\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow2=\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)
Suy ra được \(a^2=2b^2\)
Đặt \(a=2k\)
Suy ra \(\left(2k\right)^2=2b^2=2k^2\)
Suy ra b là số chẵn
Suy ra a,b ko phải là 2 số nguyên tố cùng nhau
Suy ra Giả sử sai
Vậy \(\frac{a}{b}\)là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left(a,b\in Q;b\ne0;\left(a,b\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow2=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow a^2=2b^2\)
Vì \(\frac{a}{b}\)là số hữu tỉ \(\Rightarrow a^2⋮2\Rightarrow a⋮2\left(1\right)\)
=> a = 2k (k thuộc Q) => a2 = 4k2
Ta có: a2 = 2b2 => 4k2 = 2b2 => 2k2 = b2 => \(b^2⋮2\Rightarrow b⋮2\) (2)
Từ (1) và (2) => (a,b) khác 1 => trái với giả sử
Vậy...
giả sử √2 là số hữu tỉ đặt √2 = m/n ( ước chung lớn nhất của m,n=1)
=> √2 n = m
=> 2n2 =m2
=> m2\(⋮\)2
=> m\(⋮\)2 => m2\(⋮\)4
=> 2n2\(⋮4\)=> n2\(⋮\)2=> n\(⋮\)2
=> 2 là 1 ước của m,n (trái đk UCLN(m,n)=1)
=> √2 là số vô tỉ
Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ
\(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
Chứng minh rằng:
a) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
b) \(3\sqrt{3}-1\)là số vô tỉ
a) Bằng phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 (tức là a/b tối giản), a,b>0
\(\Rightarrow b\sqrt{2}=a\Rightarrow2b^2=a^2\Rightarrow a^2\)là số chẵn \(\Rightarrow a\)là số chẵn
Đặt \(a=2k\Rightarrow b\sqrt{2}=2k\Rightarrow2b^2=4k^2\Rightarrow b^2=2k^2,k\inℕ\)
\(\Rightarrow b^2\)là số chẵn\(\Rightarrow b\)là số chẵn
Vậy \(2\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết--->đpcm
b) Bằng phản chứng giả sử \(3\sqrt{3}-1\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(3\sqrt{3}-1=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 và a,b>0
\(\Rightarrow3b\sqrt{3}=a+b\Rightarrow27b^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2⋮9\Rightarrow a+b⋮3\)
Đặt \(a+b=3k,k\inℕ\Rightarrow a=3k-b\Rightarrow\frac{3k-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{3k}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow k^2=3b^2\Rightarrow k^2⋮3\Rightarrow k⋮3\)---> Đặt \(k=3l,l\inℕ\Rightarrow a=9l-b\Rightarrow\frac{9l-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{9l}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow b^2=3l^2\Rightarrow b^2⋮3\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow3\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết---> đpcm
(Bài dài quá, giải mệt vler !!)
Chứng minh rằng
a) 7 - \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
b) \(\sqrt{5}\)+24 là số vô tỉ
Bài giải
a, Ta có :
\(\sqrt{2}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(7-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
b, Ta có :
\(\sqrt{5}\)là số vô tỉ \(\Rightarrow\sqrt{5}+24\) là số vô tỉ
♥๖Lan_Phương_cute#✖#girl_học_đường๖ۣۜ💋:))♥。◕‿◕。
chứng minh them \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ nữa ! Vào đây tham khảo :
https://olm.vn/hoi-dap/detail/227642288657.html
Chứng minh √7 là số vô tỉ.
Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.
Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?
Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
Chứng minh rằng \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\)là số vô tỉ
Ta có: \(\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ
=> \(2+\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ
=> \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\) là số vô tỉ
=> đpcm
Giả sử \(\sqrt{2+\sqrt{5}}=q\left(q\inℚ\right)\)
\(\Rightarrow2+\sqrt{5}=q^2\inℚ\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5}=q-2\inℚ\)(Vô lý vì \(\sqrt{5}\in I\))
Vậy điều giả sử là sai hay \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\)là số vô tỉ
Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Giả sử tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số hữu tỉ.
Gọi a+b=c trong đó a,c là số hữu tỉ và b là số vô tỉ ⇒⇒ b=c-a mà a và c là các số hữu tỉ ⇒⇒ a-c là số hữu tỉ ⇒⇒ b là số hữu tỉ(trái giả thiết). Vậy giả sử sai⇒⇒ đpcm
Giả sử tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số hữu tỉ.
Gọi a+b=c trong đó a,c là số hữu tỉ và b là số vô tỉ ⇒⇒ b=c-a mà a và c là các số hữu tỉ ⇒⇒ a-c là số hữu tỉ ⇒⇒ b là số hữu tỉ(trái giả thiết). Vậy giả sử sai⇒⇒ đpcm
giả sử này là sai
Chứng minh rằng:
a) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ
b) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\) là số vô tỉ
c) A = \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ
d) B = \(m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ ( m;n thuộc Q )
Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm )
b) tương tự :
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ
c) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ nên \(1+\sqrt{2}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ
d) \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ\(\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ
phản chứng : giả sử tất cả thuộc Q a đặt a= căn 2+ căn 3(a thuộc Q) . bình phương 2 vế ta có a^2=5+2 căn 6=> căn 6 = a^2-5/2 thuộc Q => vô lí
b đặt căn 2 + căn 3 + căn 5 = a. chuyển căn 5 sang vế a bình phương lên ta có 2 căn 6=a^2-2 căn 5 a
bình phương 1 lần nữa =>căn 5= a^4+20a^2-24/4a^3 thuộc Q => vô lí
c bình phương lên => căn 2=A-1 thuộc Q => vô lí
d tương tự căn 3=Bn-mn thuộc Q => vô lí
chúc bạn học tốt