Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

nên HM=AB/2=AM

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

nên HN=AC/2=AN

Xét ΔNAM và ΔNHM có 

NA=NH

MA=MH

NM chung

Do đó: ΔNAM=ΔNHM

Suy ra: \(\widehat{NAM}=\widehat{NHM}=90^0\)

a. Hình vẽ (0.5 điểm)

Xét ΔABM và ΔKBM có:

∠(ABM) = ∠(KBM)

BM là cạnh chung

⇒ ΔABM = ΔKBM(cạnh huyên – góc nhọn) (1 điểm)

⇒ AM = MK và BA = BK (hai cạnh tương ứng) ⇒ M, B nằm trên đường trung trực của AK (0.5 điểm)

Suy ra BM là đường trung trực của AK

Bài 3 :

Gọi gia điểm của các đường trung trực với AB,Ac lần lượt là H ,K

Ta có :AH + HB = AB 

          AK + KC = AC 

mà AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

=> AH + HB = AK + KC

mà  CH và Bk lần lượt là trung trực của AB ,AC 

=> AH = HB = AK = KC

Xét tam giác AHI và tam giác AKI có 

AHI = AKI = 90

AH = AK ( cmt )

AI : cạnh chung 

=> tam giác AHI = tam giác AKI ( canh huyền - cạnh gosc vuông )

=> ^HAI = ^KAI ( 2 góc tương ứng )

=> AI là tia phân giác của ^A

Vậy AI là tia phân giác của ^A

Bài 1 

 

a, Vì tam giác ABC cân tại A => AB = AC và ^ABC = ^ACB

Ta có : ^ABC + ^ABD = 180 (kề bù )

           ^ACB + ^ ACE = 180 ( kề bù )

mà ^ABC = ^ACB 

=> ^ABD = ^ ACE 

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có :

AB =AC ( tam giác ABc cân tại a )

^ABD = ^ACE ( cmt )

BD = CE ( gt)

=> tm giác ABD = tam giác ACE ( c.g.c)

=> ^ADB = ^AEC ( 2 góc tương ứng ) 

hay ^HDB = ^KEC 

Xét tam giác HBD và tam gisc KEC có :

^DHB = ^EKC = 90 

BD =  CE (gt)

HDB = KEc ( cmt )

=> tam giác HBD = tam giác KCE ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> HB = Ck ( 2 canh tương ứng )

Vậy HB = Ck

b,Xét tam giác ABH và tam giác ACk có 

AHB = AKC = 90

HB = CK ( cmt )

AB = AC 

=> tam giác ABH = tam giác  ACK ( anh huyền - canh góc vuồng )

Vậy tam giác ABH =tam giác ACK

Bài 2 :

a, Xét tam giác AHM và tam giác AKM có 

AHM= AKM= 90 

^HAM = ^KAM 

AM: canh chung

=> tam giác AHM và tam giác AKM ( canh huyền - góc nhọn)

=> MH = MK ( 2 cạnh tương ứng )

Vậy MK = MK

b,Xét tam giác HBM và tam giác KCM có 

BHM = CKM = 90

MH = MK ( cmt)

BM= MC ( M là trung điểm của BC)

=> tam giác HBM = tam giác KCM ( cạnh huyền - cạnh góc vuông ) 

=> ^ B = ^C ( 2 góc tương ứng)

Vậy ^ B = ^C

c)Xét \(\Delta\)vuông MHC và \(\Delta\)vuông QHB, ta có: 

  \(\widehat{MCH}=\widehat{QBH}\)( \(\Delta ABC\)cân tại A)

\(HC=HB\)(chứng minh câu a)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)vuông MHC = \(\Delta\)vuông QHB ( ch-gn)

\(\Rightarrow\widehat{MHC}=\widehat{QHB}\)mà \(\widehat{MHC}=\widehat{BHN}\left(dd\right)\Rightarrow\widehat{QHB}=\widehat{BHN}\)

Gọi K là trung điểm NQ

Xét tam giác KHQ và tam giác KHN, ta có:

HQ=HN( cùng bằng HM) 

\(\widehat{QHK}=\widehat{KHN}\)(cmt)

\(HK\): cạnh chung

\(\Rightarrow\)tam giác KHQ = tam giác KHN (c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}=90^o\)và QK = KN \(\Rightarrow HB\)là trung trực của NQ hay là BC là trung trực của NQ.

đòng nghĩa với dung cảm

cXét \(\Delta BQH\) và \(\Delta CMH\) có:

\(\widehat{BQG}=\widehat{HMC}=90^o\left(HQ\perp AB;HM\perp AC\right)\)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (vÌ \(\Delta ABC\)cân tại A)

BH=HC(\(\Delta AHB=\Delta AHC\)

=>Tam giác BQH= tAm giác CMGH(ch-gn)

=>BQ=CM(hai cạnh tương ứng)

Vì tam giác BNH = tam giác CMH(cm b)

=> góc C = HBN(hai gọc tương ứng)

Mà góc ABC= góc C(tam giác ABC cân tại A)

=>Góc ABC=HBN                                      1

=>CM=BN(hai cạnh tương ứng)

Gọi giao điểm của BC và QN là I

Từ 1 suy ra QBI=IBN

Xét tam giác QIB và tam giác NIB có:

BI chung

QBI=NBI(cmt)

BN=BQ(cmt)

=> tam giác QIB= tam giác NIB(c.g.c)

=>QI=NI(hai cạnh tương ứng)

=> I là trung điểm của QN                                                 2

=>tam giác QIB= tam giác NIB(cmt)

=>Góc QIB=góc NIB(hai góc tương ứng)

Mà Góc QIB+góc NIB=180 độ(hai góc ở vị trí kề bù)

=>Góc QIB=góc NIB=\(\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>\(QI\perp BC\)                                                                    3

Từ (2) và (3) suy ra Bc là đường trung trực của NQ.