2.  (x+10).(y+2)=1

tự tính

Ta có:

\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)

Từ gt \(\Rightarrow n,k\ge2\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1>1;n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{matrix}\right.\) trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}r\ge s>0\\r+s=k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)       (1)

Mặt khác:

\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)

\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)

Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=5\\k=2\end{matrix}\right.\)

Vậy bộ số (n,k,p)=(2,2,5)

\(...\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\).

Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n-1=p^v\\n^3-n-1=p^u\end{matrix}\right.\left(v,u\in N;v+u=k\right)\).

+) Với n = 2 ta có \(p^k=25=5^2\Leftrightarrow p=5;k=2\) 

+) Với n > 2 ta có \(n^3-n-1>n^2+n-1\Rightarrow v>u\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n-1\right)+n-2⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n+3\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow6⋮n^2+n-1\).

Không tồn tại n > 2 thoả mãn

Vậy...

Ta có: 

\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)

Từ giả thiết \(\Rightarrow n,k\ge2\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}n^3-n-1>1,n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{cases}}\) trong đó \(\hept{\begin{cases}r\ge s\ge0\\r+s=k\end{cases}}\)

\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)

\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)          (1)

Mặt khác :

\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)

\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\)        (2)

Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\hept{\begin{cases}p=5\\k=2\end{cases}}\)

Vậy bộ số cần tìm là (n,k,p)=(2,2,5)

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, 7n+2)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; 7n+2\vdots d$

$\Rightarrow 7(2n+1)-2(7n+2)\vdots d$

$\Rightarrow 3\vdots d$

Để 2 số trên nguyên tố cùng nhau thì $(3,d)=1$

$\Rightarrow 2n+1\not\vdots 3\Rightarrow 2n-2\not\vdots 3$

$\Rightarrow 2(n-1)\not\vdots 3$

$\Rightarrow n-1\not\vdots 3$

$\Rightarrow n\neq 3k+1$ với $k$ tư nhiên.

Mà $10< n< 1000$ nên:

$n\neq \left\{13; 16; 19; 22;....; 997\right\}$

p nguyên tố p>3

=>p có dạng 6m+1 và 6m-1

Thay vào p^2+2012 chứng minh nó là hợp số nữa là xong bạn à.

Nếu thấy bài làm của mình đúng thì tick nha bạn.Cảm ơn bạn nhiều.

bn viết cả bài làm cho mình đc ko

Thay n = 4 vào pt (1) ta có

\(x^2-6x+5=0\\ ta.có.a+b+c=1-6+5=0\\ Vậy.pt.có.n_o:\\ x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=5\) 

\(Ta.có:\Delta=b^2-4ac=....=-8n+48\\ Để.pt.\left(1\right).có.1.n_o.phân.biệt.thì.\Delta>0\\ \Leftrightarrow n< 6\) 

Vậy m < 6 thì pt (1) có nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) nên theo Vi ét ta có 

 \(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=6\\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2n-3\) 

Ta có  

\(x^2-6x+2n-3=0\\ \Leftrightarrow x^2-5x+2n-4=x-1\) 

Vì x₁ x₂ là nghiệm pt  \(x^2-6x+2n-3=0\) nên x₁ x₂ là nghiệm PT \(x^2-5x+2n-4=x-1\)  nên ta có 

\(x_1^2-5x+2x-4=x_1-1.và\\ x_2^2-5x_2+2n-4=x_2-1\\ \Rightarrow\left(x_1^2-5x_1+2n-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2n-4\right)=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\) 

\(Mà\\ \left(x_1^2-5x_1+2n-4\right)\left(x_2^2-5x_2+2n-4\right)=-4\\ Nên\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=-4\\ \Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1=-4\\ \Leftrightarrow2n-3-6+1=-4\\ \Leftrightarrow2n=4\Rightarrow n=2\left(tm\right)\\ ......\left(kl\right)\) 

ý a bạn bt lm ko?

không ạ mình hỏi các bạn bài này ạ!