3:

ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên AM*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thôi: 
AB*AC = AH*BC = 12*25 = 300 
AB^2 + AC^2 = BC^2 = 25^2 = 625 
giải hệ trên ta được : AB = 15, AC = 20 
AB^2 = BH*BC=> BH = AB^2/BC = 9 
AH^2 = BH*CH=> CH = AH^2/BH = 12^2/9 = 16 
NGOÀI RA HỆ PT TRÊN CÒN 1 NGHIỆM NỮA LÀ AB=20,AC=15 

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a) Áp dụng định lí Pi-Ta-go vào ΔABC :

      \(AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)

\(AC=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\).

b) ΔABK có BE vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác ABk là tam giác cân.( nếu bạn chưa học tính chất này thì  xét 2 tam giác BEA và BEK cũng được, điều kiện xét đã có sẵn r).

c) Xét ΔABD và ΔKBD có:

      AB=AK(ΔABK cân tại B)

Góc ABD=KBD(gt)

     BD cạnh chung

Vậy ΔABD=ΔKBD(c.g.c)

=> Góc BAD=BKD=90o(hai góc tương ứng)

hay DK vuông góc với BC

d) Vì DK vuông góc với BC

        AH vuông góc với BC 

nên DK//AH => Góc DKA=HAK(so le trong) (1)

Vì ΔABD=KBD(cmt) => AD=KD(2 cạnh tương ứng) hay tam giác ADK cân tại K

=> Góc DKA=DAK hay DKA=CAK (2)

Từ (1) và (2) suy ra Góc HAK=CAK

Hay AK là tia phân giác của góc HAC.

câu c bài 1 là tích diện tích của tam giác AHM nhá'

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AH^2=HB.HC\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AH^2}{HB}=\dfrac{\left(\dfrac{60}{13}\right)^2}{\left(\dfrac{25}{13}\right)}=\dfrac{144}{13}\left(cm\right)\)

\(BC=BH+HC=\dfrac{25}{13}+\dfrac{144}{13}=13\left(cm\right)\)

\(AB^2=HB.BC\\ \Rightarrow AB=\sqrt{\dfrac{25}{13}.13}=5\left(cm\right)\)

\(AC^2=HC.BC\\ \Rightarrow AC=\sqrt{\dfrac{144}{13}.13}=12\left(cm\right)\)