Gọi Q G ; 120 ο  là phép quay tâm G góc 120 ο . Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.

Tương tự  Q G ; 120 ο  cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra GP = GN, GQ = GM. Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì  Q G ; 120 ο  biến PQ thành NM nên PQ = NM. Từ đó suy ra hai tam giác NQM và PMQ bằng nhau. Do đó ∠NQM = ∠PMQ. Tương tự ∠QNP = ∠MPN.

Từ đó suy ra P N Q ^   +   N Q M ^   =   180 o

Do đó NP // QM. Vậy ta có tứ giác MPNQ là hình thang cân.

Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA

nên ΔDAC cân tại D

=>M là trung điểm của AC

+ Ta có

MN//BC => BMNC là hình thang (theo định nghĩa)

Ta m giác ABC cân tại A => ^ABC = ^ACB

=> BMNC là hình thang cân

+ Xét tam giác MBI có

^MIB = ^IBC (góc so le trong) (1)

^IBC = ^IBM (BI là phân giác ^B) (2)

Từ (1) và (2) => tam giác MBI cân tại M => MI = MB (*)

+ Xét tam giác NCI chứng minh tương tự ta cũng có NI = NC (**)

Từ (*) và (**) => MI + NI = MB + NC => MN = MB + NC (dpcm)

a: Xét ΔMBN và ΔMCA có

góc MBN=góc MCA

góc BMN=góc CMA

=>ΔMBN đồng dạng với ΔMCA

b: AB/AC=MB/MC=MN/MA

a/ 

Ta có BG vuông góc AB; CH vuông góc AB => BG//CH

Ta có BH vuông góc AC; CG vuông góc AC => BH//CG

=> BHCG là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh dối // với nhau từng đôi một)

M là giao 2 đường chéo của hình bình hành BHCG => M là trung điểm của BC (trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

b/ Ta có H trực tâm của tg ABC => AH vuông góc BC; AB vuông góc CE => ^PAH = ^HCM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (1)

Ta có PQ vuông góc HG (đề bài) và AB vuông góc CE (đề bài) => ^APH = ^CHM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (2)

Từ (1) và (2) => tg CMH đồng dạng với tg AHP

c/